窓関数の周波数特性

概要

信号に長さ \(L\) の窓関数を掛けた時、どのような周波数特性が信号本来のスペクトルに畳み込まれるのか、いくつかの窓関数について計算しました。

準備

よく使うので以下を定義しておきます。 \begin{eqnarray} W_n(\omega) &=& \int_{-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}} \cos(2n\pi\frac{t}{L}) e^{-i\omega t}dt \\ &=& \int_{-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}} \cos(2n\pi\frac{t}{L}) \left\{\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t)\right\} dt \\ && \cos(2n\pi\frac{t}{L}) は偶関数ですから \nonumber\\ &=& 2 \int_0^{\frac{L}{2}} \cos(2n\pi\frac{t}{L}) \cos(-\omega t) dt \\ &=& \int_0^{\frac{L}{2}} \cos(2n\pi\frac{t}{L}-\omega t) + \cos(2n\pi\frac{t}{L}+\omega t) dt \\ &=& \left[\frac{1}{\frac{2n\pi}{L}-\omega}\sin(\frac{2n\pi}{L}t-\omega t) + \frac{1}{\frac{2n\pi}{L}+\omega}\sin(\frac{2n\pi}{L}t+\omega t)\right]_0^{\frac{L}{2}} \\ &=& \frac{1}{\frac{2n\pi}{L}-\omega}\sin(\frac{2n\pi}{L}\frac{L}{2}-\frac{L\omega}{2}) + \frac{1}{\frac{2n\pi}{L}+\omega}\sin(\frac{2n\pi}{L}\frac{L}{2}+\frac{L\omega}{2}) \\ &=& \frac{L}{2n\pi-L\omega}\sin\left(n\pi-\frac{L\omega}{2}\right) + \frac{L}{2n\pi+L\omega}\sin\left(n\pi+\frac{L\omega}{2}\right) \end{eqnarray} \(n\) が偶数の場合は \(\sin(n\pi-α)=-\sin(α),\ \sin(n\pi+α)=\sin(α)\) ですから \begin{eqnarray} W_n(\omega) &=& -\frac{L}{2n\pi-L\omega}\sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) + \frac{L}{2n\pi+L\omega}\sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& \left(-\frac{L}{2n\pi-L\omega} + \frac{L}{2n\pi+L\omega}\right)\sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 n^2 \pi ^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \label{even} \end{eqnarray} \(n\) が奇数の場合は \(\sin(n\pi-α)=\sin(α),\ \sin(n\pi+α)=-\sin(α)\) ですから \begin{eqnarray} W_n(\omega) &=& \frac{L}{2n\pi-L\omega}\sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) - \frac{L}{2n\pi+L\omega}\sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& \left(\frac{L}{2n\pi-L\omega} - \frac{L}{2n\pi+L\omega}\right)\sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& -\frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 n^2 \pi ^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \label{odd} \end{eqnarray} 式(\ref{even}), 式(\ref{odd}) を合わせると \begin{eqnarray} W_n(\omega) &=& (-1)^n \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 n^2 \pi ^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \label{Wn} \end{eqnarray} 実際に計算する場合、このままでは \(L^2 \omega^2-4 n^2 \pi ^2=0\) の時に分母が 0 になってしまいますが、\(0/0\) 型ですので、\(n\) で場合分けしてロピタル (L'Hôpital) の定理を使って極限を計算します。

\(n=0\) の場合は \(\omega=0\) が問題になり \begin{eqnarray} W_0(0) &=& \lim_{\omega\to 0}\frac{2}{\omega} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& \lim_{\omega\to 0} \frac{\frac{d}{d\omega}\left\{2 \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right)\right\}}{\frac{d}{d\omega}\omega} \\ &=& \lim_{\omega\to 0} L \cos \left(\frac{L w}{2}\right) \\ &=& L \label{L} \end{eqnarray} \(n=1,2,3,\cdots\) の場合は \(\omega=\displaystyle\frac{2 n \pi}{L}\) が問題になり \begin{eqnarray} W_n\left(\frac{2 n \pi}{L}\right) &=& \lim_{\omega\to \frac{2 n \pi}{L}} \frac{\frac{d}{d\omega}\left\{2 (-1)^n L^2 \omega \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right)\right\}}{\frac{d}{d\omega}\left\{L^2 \omega^2-4 n^2 \pi^2\right\}} \\ &=& 2 (-1)^n L^2 \lim_{\omega\to \frac{2 n \pi}{L}} \frac{\frac{d}{d\omega}\left\{\omega \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right)\right\}}{\frac{d}{d\omega}\left\{L^2 \omega^2\right\}} \\ &=& 2 (-1)^n \lim_{\omega\to \frac{2 n \pi}{L}} \frac{\frac{d}{d\omega}\left\{\omega \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right)\right\}}{\frac{d}{d\omega}\omega^2} \\ &=& 2 (-1)^n \lim_{\omega\to \frac{2 n \pi}{L}} \frac{\sin \left(\frac{L \omega}{2}\right)+\frac{1}{2} L \omega \cos \left(\frac{L \omega}{2}\right)}{2w} \\ &=& \frac{(-1)^n L}{2 n\pi}\left\{\sin (n\pi)+n\pi \cos (n\pi)\right\} \\ &=& \frac{(-1)^n L}{2 n\pi} n\pi (-1)^n \\ &=& \frac{L}{2} \label{L2} \end{eqnarray}

矩形窓 (rectangular window)

長さ \(L\) の矩形窓 \begin{eqnarray} w(t) &=& \left\{ \begin{array}{rl} 1, & -\frac{L}{2} \leq t\lt \frac{L}{2} \\ 0, & その他 \end{array} \right. \end{eqnarray}


矩形窓

の周波数特性は \begin{eqnarray} W(\omega) &=& W_0(\omega)\\ && n=0 は偶数なので 式(\ref{Wn})より \nonumber\\ &=& \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& \frac{2}{\omega} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \end{eqnarray} ただし式(\ref{L})より \(W_0(0)=L\) です。

矩形窓の周波数特性

メインローブは \(\pm \displaystyle\frac{2\pi}{L}\) の範囲(図の緑部分)にあり、他の窓関数に比べると細くて周波数分解能は高いのですが、サイドローブ(図の赤部分)が大きいため小さい成分の検出には向きません。

ハン窓 (hann window)

一般に \(a,b\) を定数とする長さ \(L\) の窓 \begin{eqnarray} w(t) &=& \left\{ \begin{array}{rl} a+b\cos(2\pi\frac{t}{L}), & -\frac{L}{2} \leq t\lt \frac{L}{2} \\ 0, & その他 \end{array} \right. \label{Han} \end{eqnarray}


ハン窓

の周波数特性は \begin{eqnarray} W(\omega) &=& a W_0(\omega) + b W_1(\omega) \\ && 式(\ref{Wn}) より \nonumber\\ &=& a \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) - b \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 \pi ^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& \left(a\frac{2}{\omega}-b\frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 \pi ^2}\right) \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \label{W01} \end{eqnarray}

ハン窓は \(a=b=1/2\) としたものですから、その周波数特性は式(\ref{W01})より \begin{eqnarray} W(\omega) &=& \left(\frac{1}{\omega}-\frac{L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 \pi ^2}\right) \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ \end{eqnarray} ただし式(\ref{L}),式(\ref{L2})より \(W_0(0)=L,\ W_1\left(\displaystyle\frac{2 \pi}{L}\right)=\displaystyle\frac{L}{2}\) です (以下、同様)。


ハン窓の周波数特性

メインローブは \(\pm \displaystyle\frac{4\pi}{L}\) の範囲(図の緑部分)で、矩形窓の倍の幅があるため周波数分解能は劣りますが、サイドローブ(図の赤部分)は矩形窓よりずっと小さく、ある程度小さい成分の検出には使えます。

ハミング窓 (hamming window)

ハミング窓は式(\ref{Han})で \(a=0.54, b=0.46\) としたものです。


ハミング窓

その周波数特性は式(\ref{W01})より \begin{eqnarray} W(\omega) &=& \left(0.54\frac{2}{\omega}-0.46\frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 \pi ^2}\right) \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \end{eqnarray}

ハミング窓の周波数特性

ハン窓と同様にメインローブは \(\pm \displaystyle\frac{4\pi}{L}\) の範囲(図の緑部分)ですが、少しだけメインローブが細いです。その代わり \(|\omega|\) が大きい所では (この図では見にくいと思いますが) サイドローブが大きくなります。

ブラックマン窓 (Blackman window)

一般に \(a,b,c\) を定数とする長さ \(L\) の窓 \begin{eqnarray} w(t) &=& \left\{ \begin{array}{rl} a+b\cos(2\pi\frac{t}{L})+c\cos(4\pi\frac{t}{L}), & -\frac{L}{2} \leq t\lt \frac{L}{2} \\ 0, & その他 \end{array} \right.\label{abc} \end{eqnarray} の周波数特性は \begin{eqnarray} W(\omega) &=& a W_0(\omega) + b W_1(\omega) + c W_2(\omega) \\ && 式(\ref{Wn}) より \nonumber\\ &=& a \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) - b \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 \pi ^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) + c \frac{2 L^2 \omega}{L^2 \omega^2-16 \pi ^2} \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \\ &=& 2\left(a\frac{1}{\omega}-b\frac{L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 \pi ^2}+c \frac{L^2 \omega}{L^2 \omega^2-16 \pi ^2}\right) \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \label{W012} \end{eqnarray}

ブラックマン窓は式(\ref{abc}) で \(a=0.42, b=0.5, c=0.08\) としたものです。


ブラックマン窓

その周波数特性は式(\ref{W012})より \begin{eqnarray} W(\omega) &=& 2\left(0.42\frac{1}{\omega}-0.5\frac{L^2 \omega}{L^2 \omega^2-4 \pi ^2}+0.08 \frac{L^2 \omega}{L^2 \omega^2-16 \pi ^2}\right) \sin\left(\frac{L\omega}{2}\right) \end{eqnarray}

ブラックマン窓の周波数特性

メインローブは \(\pm \displaystyle\frac{6\pi}{L}\) の範囲(図の緑部分)と非常に太いですが、サイドローブは非常に小さいです。このため周波数分解能はそれほど必要ないが微弱な成分を検出したい場合に向いています。

各窓関数の周波数特性を比較する

今回取り上げた 4 つの窓関数の周波数特性を重ね描きすると次のようになります。


各窓の周波数特性


矩形窓以外はサイドローブが小さくて比較しにくいので、縦軸を dB 表示してみます。

\(L=1\) の場合の各窓の周波数特性を dB で比較
(一番下は -80dB)

こうして見ると、メインローブが細くてサイドローブが小さい (つまり周波数分解能に優れていて、かつ微小成分の検出にも使える) 窓関数は無いことがわかります。このため窓関数は用途に応じて使い分ける必要があります。