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点と平面の距離

はじめに

点 $\boldsymbol{x}$ と平面 \begin{equation} \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b = 0 \label{plane} \end{equation} の距離を求める。ここに $\boldsymbol{w}$ は平面の法線ベクトルである。

解法

$\boldsymbol{x}$ に最も近い平面上の点 (垂線の足) を $\boldsymbol{h}$ とすると \begin{equation} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{h} = k \boldsymbol{w} \label{x-h} \end{equation} と書けるから、移項すれば $\boldsymbol{h}$ は次のように表せる。 \begin{equation} \boldsymbol{h} = \boldsymbol{x} - k \boldsymbol{w} \label{h} \end{equation} $\boldsymbol{h}$ は平面上の点だから式(\ref{plane})を満たす。 \begin{equation} \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{h} + b = 0 \end{equation} 式(\ref{h})を代入すると \begin{eqnarray} \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{h} + b &=& \boldsymbol{w}^T (\boldsymbol{x} - k \boldsymbol{w}) + b \\ &=& \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} - k \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{w} + b \\ &=& 0 \end{eqnarray} よって \begin{eqnarray} \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b &=& k \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{w} \\ &=& k \|\boldsymbol{w}\|^2 \end{eqnarray} から \begin{equation} k = \frac{\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b}{\|\boldsymbol{w}\|^2} \end{equation} である。これを式(\ref{x-h})に代入すると \begin{eqnarray} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{h} &=& \frac{\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b}{\|\boldsymbol{w}\|^2} \boldsymbol{w} \\ &=& \frac{\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b}{\|\boldsymbol{w}\|} \frac{\boldsymbol{w}}{\|\boldsymbol{w}\|} \\ \end{eqnarray} その長さ (点と平面の距離) は \begin{eqnarray} \require{cancel} \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{h}\| &=& \left\|\frac{\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b}{\|\boldsymbol{w}\|} \frac{\boldsymbol{w}}{\|\boldsymbol{w}\|}\right\| \\ &=& \frac{|\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b|}{\|\boldsymbol{w}\|} \frac{\cancel{\|\boldsymbol{w}\|}}{\cancel{\|\boldsymbol{w}\|}} \\ &=& \frac{|\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b|}{\|\boldsymbol{w}\|} \end{eqnarray} で計算できる。

計算例

点 $\boldsymbol{x}= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right)$ と、平面 $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) - 2 = 0$ の距離は \begin{eqnarray} \frac{|\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x} + b|}{\|\boldsymbol{w}\|} &=& \frac{ \left|\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right) - 2\right|} { \sqrt{1^2+2^2+3^2} } \\ &=& \frac{|1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5-2|}{\sqrt{1+4+9}} \\ &=& \frac{|3+8+15-2|}{\sqrt{14}} \\ &=& \frac{24}{\sqrt{14}} \\ &\simeq& 6.41427 \end{eqnarray}