アナログ (あなろぐ)

「アナロジー」=「類似,相似」という言葉からも察しが付くように、「アナログ」は何らかの物理量をそっくりそのまま電圧または電流に対応付けたものを指す。 質量を持つものを一瞬で移動することはできないので、アナログは必然的に連続値を取る場合が多い。

これに対して「ディジタル」は飛びとびの値だけを取る不連続な量である。

アパーチャ効果 (あぱーちゃこうか)

オーディオ信号の場合は、主にサンプル値を0次ホールドで一定時間持続(階段補間に相当)した場合に生じる周波数特性劣化のこと。

単純にサンプル値をサンプリング周期 \(T\) だけ持続する回路のインパルス応答を \(f(t)\) とすると、その周波数特性は \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt \\ &=& \int_0^T e^{-i\omega t}dt \end{eqnarray}


サンプル値を時間 \(T\) だけ持続する回路のインパルス応答

であるが、これでは直流ゲインが \(T\) になってしまうため \(1/T\) 倍し、振幅周波数特性だけに着目することにして時間軸を \(T/2\) シフトした信号 \begin{eqnarray} g(t) &=& \frac{1}{T}f(t+\frac{T}{2}) \end{eqnarray} の周波数特性を計算すると次のようになる。 \begin{eqnarray} G(\omega) &=& \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i\omega t}dt \\ &=& \int_{-T/2}^{+T/2} \frac{1}{T} e^{-i\omega t}dt \\ &=& \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} e^{-i\omega t}dt \\ &=& \frac{1}{T} \left[\frac{e^{-i t \omega}}{-i \omega}\right]_{-T/2}^{+T/2} \\ &=& -\frac{1}{i\omega T} \left(e^{-i T/2 \omega} - e^{i T/2 \omega}\right) \\ && e^x = \cos (x)+i \sin (x) を使って展開整理すると \nonumber\\ &=& \frac{2}{\omega T} \sin \left(\frac{T \omega}{2}\right) \\ &=& \frac{\sin \left(\frac{T \omega}{2}\right)}{\frac{\omega T}{2}} \\ \end{eqnarray}

\(f(t)\) の時間軸を \(T/2\) シフトし、直流ゲイン 1 になるように振幅を補正した信号 \(g(t)\)

\(g(t)\) は \(t=0\) を中心に左右対称になるので、元の 0 次ホールド回路は直線位相(リニア・フェイズ)であることが分かる。 つまり 0 次ホールド回路は遅延を生じるだけで、それ以外の位相歪を生じない。

サンプリング周期 \(T\) に対応するサンプリング周波数を \(F_s\) とすれば \(T\to 1/F_s\) と書け、角周波数を周波数に置き換えて \(\omega\to 2\pi f\) とすれば、0次ホールド回路のゲイン特性は次のようになる。 \begin{eqnarray} \require{cancel} H(f) &=& \frac{\sin \left(\frac{\bcancel{2}\pi f}{\bcancel{2} F_s}\right)}{\frac{\bcancel{2}\pi f}{\bcancel{2} F_s}} \\ &=& \frac{\sin \left(\pi\frac{f}{F_s}\right)}{\pi\frac{f}{F_s}} \label{aperture} \end{eqnarray} サンプリング周波数 \(F_s=\)44.1kHz の場合を図示すると次のようになる。


時間軸を \(-T/2\) シフトした場合の、0 次ホールド回路のゲイン特性 (サンプリング周波数 44.1kHz)
横軸:周波数[Hz], 縦軸:ゲイン[倍]

上のグラフから 0 次ホールド回路のゲインは、サンプリング周波数 (上図では 44.1kHz) の整数倍の周波数で 0 となり、周波数が高くなるにつれて振動しながら減衰してゆくことが解る。

DC から ナイキスト周波数 までの振幅特性をデシベルでプロットすると次図のようになり、サンプリング周波数 44.1kHz では、11.532kHz で 1 dB、Nyquist 周波数 22.05kHz で 4dB 近い減衰をもたらす。


0次ホールド回路のアパーチャ効果による周波数特性 (サンプリング周波数 44.1kHz)
横軸:周波数[Hz], 縦軸:ゲイン[dB]

サンプリング周波数 44.1kHz の場合の代表的な周波数でのゲインを以下に示す。

周波数ゲイン
0Hz\(\times\)1.000 ( 0.000dB)
1kHz\(\times\)0.999 (-0.007dB)
4kHz\(\times\)0.987 (-0.118dB)
8kHz\(\times\)0.947 (-0.475dB)
12kHz\(\times\)0.883 (-1.085dB)
16kHz\(\times\)0.797 (-1.970dB)
20kHz\(\times\)0.694 (-3.168dB)
22.05kHz\(\times\)0.637 (-3.922dB)