回転行列 (かいてんぎょうれつ)

座標軸に対する回転を組み合わせて任意の回転を表す行列。

3次元の場合、x 軸の回りで y 軸を z 軸に向けて \(\alpha\) [rad] 回転する回転行列は \begin{eqnarray} \boldsymbol{R}_x &=& \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} y 軸の回りで z 軸を x 軸に向けて \(\beta\) [rad] 回転する回転行列は \begin{eqnarray} \boldsymbol{R}_y &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \\ \end{array} \right) \label{Ry} \end{eqnarray} z 軸の回りで x 軸を y 軸に向けて \(\gamma\) [rad] 回転する回転行列は \begin{eqnarray} \boldsymbol{R}_z &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} 以上から、最初に x 軸の回りに \(\alpha\) [rad]、次に y 軸の回りに \(\beta\) [rad]、最期に z 軸の回りに \(\gamma\) [rad] 回転すると、その結果の回転行列は次のようになる。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{R}_z \boldsymbol{R}_y \boldsymbol{R}_x &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma & \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \\ \cos \beta \sin \gamma & \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \sin \alpha \cos \gamma \\ -\sin \beta & \sin \alpha \cos \beta & \cos \alpha \cos \beta \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}

【注意】 行列の積は非可換であるため、回転させる軸の順序を変えると違う結果になってしまうので、回転軸の順序には注意が必要である。
【参考】 式(\ref{Ry})で y 軸の回りで z 軸を x 軸に向けて \(\beta\) [rad] 回転する回転行列が \begin{eqnarray} \boldsymbol{R}_y &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} であり、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{R}_y &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \beta & 0 & -\sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \beta & 0 & \cos \beta \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} でない点に注意が必要である (うっかりすると間違える)。 これは y 軸に対する回転だけ「z 軸を x 軸に向けて」とアルファベット逆順に軸を選ぶためである。
【参考】 回転のみで伸縮を伴わないため、回転行列の行列式は 1 である。 \begin{eqnarray} |\boldsymbol{R}_x|&=&\cos^2\alpha + sin^2\alpha \ =\ 1 \\ |\boldsymbol{R}_y|&=&\cos^2\beta + sin^2\beta \ =\ 1 \\ |\boldsymbol{R}_z|&=&\cos^2\gamma + \sin^2\gamma\ =\ 1 \end{eqnarray} したがって \begin{eqnarray} |\boldsymbol{R}_x\boldsymbol{R}_y\boldsymbol{R}_z|&=&|\boldsymbol{R}_x|\ |\boldsymbol{R}_y|\ |\boldsymbol{R}_z|\ =\ 1 \end{eqnarray}

過学習 (かがくしゅう)

機械学習において、与えられた訓練データに対する近似精度が過度に高く、与えられていない未知のデータに対する近似精度が劣化してしまう状況。 データ数が少ない場合や、データの分布が偏っている場合に起きやすい。

片側z変換 (かたがわぜっとへんかん)

因果的な信号やシステムに対して用いられる z変換