こ

高速フーリエ変換 (こうそくふーりえへんかん)

\(\sin, \cos\) の周期性を利用して離散フーリエ変換 (DFT) \begin{eqnarray} X(k) &=& \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-i\cdot 2 \pi \frac{k n}{N}} \label{FFT1}\\ &=& \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \left\{\cos\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) - i\cdot\sin\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) \right\} \end{eqnarray} 及び逆変換 (逆 DFT) \begin{eqnarray} x(n) &=& \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{+i\cdot 2 \pi \frac{k n}{N}} \\ &=& \sum_{k=0}^{N-1} X(k) \left\{\cos\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) + i\cdot\sin\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) \right\} \label{FFT4} \end{eqnarray} を高速に計算するアルゴリズム。FFT (Fast Fourier Transform) と略す。その高速性により、スペクトル分析、畳込み(フィルタ)、自己相関、相互相関など、ディジタル信号処理に幅広く使われている。

【注意】紛らわしいのだが「高速フーリエ変換」は無限区間の「フーリエ変換」を計算するアルゴリズムではなく、有限区間の離散信号を周期信号とみなし、そのフーリエ係数を高速に計算するアルゴリズムである。

【参考】 FFT を構成するには、\(N\) の素因数分解が小さな素数だけで表せる必要があり、多くの場合、2 の冪乗 \(N=2^L\) が使われる。

【参考】式(\ref{FFT1})～式(\ref{FFT4})では変換時に \(\sum\) の前に \(\frac{1}{N}\) を掛けているが、逆変換の時に \(\frac{1}{N}\) を掛けたり、変換と逆変換の両方で \(\frac{1}{\sqrt{N}}\) を掛てもよい (用途に応じて使い分ける)。

1965年にアメリカの数学者クーリー (Cooley) とテューキー (Tukey) によって発表され、瞬く間に世界中に広まったが、その計算原理は 1805 年頃、大数学者ガウス(Gauss)によって、すでに発見されていたという。

高調波 (こうちょうは)

厳密には基本周波数の整数倍の周波数成分のことであるが、(基本周波数よりも高い) 優勢な周波数成分も高調波と誤用される場合がある。

高調波の「調」の字は「調和振動」を表し、正弦波を意味する。

固有振動数 (こゆうしんどうすう)

物体を強制的に加振し続けることなく、自由に振動させた場合に振動し易い振動数のこと。

物体をハンマーなどで叩いた後に聞こえる優勢な振動成分の周波数と考えてよい。

固有モード (こゆうもーど)

物体の固有振動数に対応する振動の形のこと。