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高速フーリエ変換 (こうそくふーりえへんかん)

\(\sin, \cos\) の周期性を利用して 離散フーリエ変換 (DFT) \begin{eqnarray} X(k) &=& \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-i\cdot 2 \pi \frac{k n}{N}} \label{FFT1}\\ &=& \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \left\{\cos\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) - i\cdot\sin\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) \right\} \end{eqnarray} 及び逆変換 (逆 DFT) \begin{eqnarray} x(n) &=& \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{+i\cdot 2 \pi \frac{k n}{N}} \\ &=& \sum_{k=0}^{N-1} X(k) \left\{\cos\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) + i\cdot\sin\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) \right\} \label{FFT4} \end{eqnarray} を高速に計算するアルゴリズム。FFT (Fast Fourier Transform) と略す。 その高速性により、スペクトル分析、畳込み(フィルタ)、自己相関、相互相関など、ディジタル信号処理に幅広く使われている。

1965年にアメリカの数学者クーリー (Cooley) とテューキー (Tukey) によって発表され、瞬く間に世界中に広まったが、その計算原理は 1805 年頃、大数学者ガウス(Gauss)によって、すでに発見されていたという。

高調波 (こうちょうは)

厳密には基本周波数の整数倍の周波数成分のことであるが、(基本周波数よりも高い) 優勢な周波数成分も高調波と誤用される場合がある。

高調波の「調」の字は「調和振動」を表し、正弦波を意味する。

固有振動数 (こゆうしんどうすう)

物体を強制的に加振し続けることなく、自由に振動させた場合に振動し易い振動数のこと。

物体をハンマーなどで叩いた後に聞こえる優勢な振動成分の周波数と考えてよい。

固有モード (こゆうもーど)

物体の固有振動数に対応する振動の形のこと。

混合正規分布モデル (こんごうせいきぶんぷもでる)

データの分布を複数の正規分布の重み付け和として表現するモデル。GMM (Gaussian Mixture Model)。

正規分布 $N(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$ の重み付け和として次のように定義される。 \begin{eqnarray} p(\boldsymbol{x}) &=& \sum_{k=1}^K \pi_k N(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu}_k,\boldsymbol{\Sigma}_k) \label{GMM} \end{eqnarray} ただし $\pi_k$ は重み係数 (結合係数)、$\boldsymbol{\mu}_k$ は平均、$\boldsymbol{\Sigma}_k$ は分散共分散行列。