多項式

証明：

\( f(x) \) の次数 \( n = \deg(f) \) に関する帰納法で示す。\( g(x) \) の次数を \( m = \deg(g) \) とする。

存在：

\( n < m \) のとき、\( q = 0,\; r = f \) とすればよい。

\( n \geq m \) のとき、\( f(x) = a_n x^n + \cdots \)、\( g(x) = b_m x^m + \cdots \) として

\[ f_1(x) = f(x) - \frac{a_n}{b_m}\,x^{n-m}\,g(x) \]

とおくと、\( x^n \) の項が消えるので \( \deg(f_1) < n \) である。帰納法の仮定より \( f_1 = g\,q_1 + r_1 \)（\( \deg(r_1) < m \)）と書けるから

\[ f = \frac{a_n}{b_m}\,x^{n-m}\,g + f_1 = g\!\left(\frac{a_n}{b_m}\,x^{n-m} + q_1\right) + r_1 \]

これが求める分解である。

一意性：

\( f = g\,q_1 + r_1 = g\,q_2 + r_2 \) とすると \( g(q_1 - q_2) = r_2 - r_1 \) である。\( q_1 \neq q_2 \) と仮定すると、左辺の次数は \( \geq m \) だが、右辺の次数は \( < m \) となり矛盾する。よって \( q_1 = q_2 \) であり、\( r_1 = r_2 \) もわかる。\( \square \)

証明：

除法の原理（3.3節）により、\( p(x) \) を \( (x - \alpha) \) で割ると

\[ p(x) = (x - \alpha)\,q(x) + r \]

と書ける。ここで \( \deg(r) < \deg(x - \alpha) = 1 \) なので、余り \( r \) は定数である。

この等式に \( x = \alpha \) を代入すると

\[ p(\alpha) = (\alpha - \alpha)\,q(\alpha) + r = r \]

したがって \( p(\alpha) = 0 \iff r = 0 \iff p(x) = (x - \alpha)\,q(x) \)。\( \square \)

証明：

Step 1. \( a_n = 1 \) の場合

代数学の基本定理（定理4.2）より、最高次の係数が1の \( n \) 次多項式は根 \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) を用いて

\[ p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n) \]

と因数分解できる。この積を展開する。各因子 \( (x - \alpha_i) \) から \( x \) か \( -\alpha_i \) のどちらか一方を選んで掛け合わせ、すべての選び方について足し合わせたものが展開結果である。

\( x^{n-k} \) の項が生じるのは、\( n \) 個の因子のうち \( n-k \) 個から \( x \) を、残り \( k \) 個から \( -\alpha_i \) を選んだときである。 残り \( k \) 個の選び方は \( \{1, 2, \ldots, n\} \) から \( k \) 個の添字を選ぶ組合せに対応する。一つの組合せ \( \{i_1, \ldots, i_k\} \) に対して得られる項は

\[ (-\alpha_{i_1})(-\alpha_{i_2})\cdots(-\alpha_{i_k}) = (-1)^k \,\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\cdots\alpha_{i_k} \]

すべての組合せについて和をとると、\( x^{n-k} \) の係数は

\[ (-1)^k \!\!\!\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \!\!\!\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\cdots\alpha_{i_k} = (-1)^k \, e_k \]

となる（\( e_k \) は 4.3 節で定義した第 \( k \) 基本対称式）。したがって展開結果は

\[ (x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_n) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \, e_k \, x^{n-k} \]

書き下すと

\[ \begin{align} = x^n &- \underbrace{(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)}_{e_1}\,x^{n-1} \\ &+ \underbrace{(\alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \cdots + \alpha_{n-1}\alpha_n)}_{e_2}\,x^{n-2} \\ &- \underbrace{(\alpha_1\alpha_2\alpha_3 + \cdots)}_{e_3}\,x^{n-3} + \cdots + (-1)^n\underbrace{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n}_{e_n} \end{align} \]

一方、モニック多項式は \( p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \)（ここで \( a_n = 1 \)）と書けるから、\( x^{n-k} \) の係数を比較して

\[ a_{n-k} = (-1)^k \, e_k \qquad (k = 1, 2, \ldots, n) \]

すなわち

\[ e_k = (-1)^k \, a_{n-k} \qquad (k = 1, 2, \ldots, n) \]

これがモニック多項式に対するヴィエトの公式である。

Step 2. 一般の場合（\( a_n \neq 1 \)）

\( p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 \) の両辺を \( a_n \) で割ると

\[ \frac{p(x)}{a_n} = x^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1} + \cdots + \frac{a_0}{a_n} \]

はモニック多項式であり、根は同じ \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) である。このモニック多項式の \( x^{n-k} \) の係数は \( a_{n-k}/a_n \) なので、Step 1 の結果をそのまま適用して

\[ e_k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) = (-1)^k \,\frac{a_{n-k}}{a_n} \qquad (k = 1, 2, \ldots, n) \]

が得られる。\( \square \)

証明：漸化式が \( T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta) \) を満たすこと

\( n \) に関する帰納法で示す。

\( n = 0 \): \( T_0(\cos\theta) = 1 = \cos 0 \)。\( n = 1 \): \( T_1(\cos\theta) = \cos\theta \)。いずれも成立。

\( n-1, n \) で成り立つと仮定する。三角関数の加法定理より

\[ \cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta) = 2\cos\theta\,\cos(n\theta) \]

これを変形すると

\[ \cos((n+1)\theta) = 2\cos\theta\,\cos(n\theta) - \cos((n-1)\theta) \]

帰納法の仮定 \( T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta) \)、\( T_{n-1}(\cos\theta) = \cos((n-1)\theta) \) を代入すると

\[ \cos((n+1)\theta) = 2\cos\theta\,T_n(\cos\theta) - T_{n-1}(\cos\theta) = T_{n+1}(\cos\theta) \]

よって \( T_{n+1}(\cos\theta) = \cos((n+1)\theta) \) が成り立つ。\( \square \)

証明：

存在：各 \( i = 0, 1, \ldots, n \) に対し、ラグランジュ基底多項式

\[ L_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]

を定義する。\( L_i(x) \) は \( n \) 次多項式であり、

\[ L_i(x_k) = \begin{cases} 1 & (k = i) \\ 0 & (k \neq i) \end{cases} \]

が成り立つ。なぜなら、\( k \neq i \) のとき分子の因子 \( (x_k - x_k) = 0 \) が含まれ、\( k = i \) のとき分子と分母が一致するからである。

これを用いて \( p(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} y_i\,L_i(x) \) とおくと、\( p(x) \) は \( n \) 次以下の多項式であり、

\[ p(x_k) = \sum_{i=0}^{n} y_i\,L_i(x_k) = y_k \]

となるので、すべての点を通る。

一意性：\( n \) 次以下の多項式 \( p(x), q(x) \) がともにすべての点を通るとすると、差 \( d(x) = p(x) - q(x) \) は \( n \) 次以下の多項式で \( d(x_0) = d(x_1) = \cdots = d(x_n) = 0 \) を満たす。\( n \) 次以下の多項式が \( n+1 \) 個の根を持つのは零多項式に限るので、\( d(x) = 0 \)、すなわち \( p(x) = q(x) \) である。\( \square \)