リー代数
Lie Algebra
リー代数とは
まず、リー群とは
リー群とは、群であると同時に滑らかな多様体でもあり、群演算（積と逆元を取る操作）が滑らかな写像になっているものである。言い換えると、群の元を「連続的に動かせる」ような群である。
- 回転群 $SO(3)$：3次元空間での回転全体。回転角度を少しずつ変えられる
- 一般線形群 $GL(n)$：正則な $n \times n$ 行列全体。行列の成分を連続的に動かせる
- ユニタリ群 $U(n)$：量子力学で現れる、ノルムを保つ変換全体
リー群は物理学において対称性を記述するのによく使われる（回転対称性を $SO(3)$ で、ゲージ対称性を $SU(n)$ で記述するなど）。しかし、リー群の定義自体は「対称性を持つ」ことではなく、あくまで「群構造と滑らかな多様体構造が両立している」ことである。
図1：リー群 = 群 ∩ 多様体
リー代数：リー群を線形化したもの
リー代数は、リー群の「単位元のまわりでの無限小の振る舞い」を抽出したものである。図2のように、曲がったリー群上の特別な点（単位元 $e$）での接空間を考え、そこに後述するリー括弧 $[X, Y]$ という演算を入れることで、幾何的な空間が代数構造を持つようになる。
図2：リー群（曲面）とリー代数（接平面）
リー群は曲がった多様体だが、その接平面※であるリー代数は平らなベクトル空間なので扱いが楽になる。複雑な非線形の問題を、扱いやすい線形な問題に「翻訳」できるのが大きな利点である。
※ 4次元以上では接超平面、一般に接空間と呼ぶ。なお、リー代数はあくまで単位元近傍の情報であり、リー群の大域的な構造（位相）は完全には捉えられない。実際、異なるリー群が同じリー代数を持つこともある。
どこで使われるか
物理学では角運動量の交換関係、素粒子物理のゲージ理論、量子力学の対称性など、あらゆる場面で現れる。純粋数学でも表現論、微分幾何、代数幾何で中心的な役割を果たす。
図3：リー群とリー代数の関係
本シリーズでは、リー代数の基本から半単純リー代数の分類、表現論まで4段階で体系的に学ぶ。
レベル別コンテンツ
主要な概念・公式
リー括弧の性質
$$[X, Y] = -[Y, X]$$
$$[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0$$
キリング形式
$$B(X, Y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_X \circ \mathrm{ad}_Y)$$
$\mathfrak{sl}(2)$ の基底
$$[H, E] = 2E$$
$$[H, F] = -2F$$
$$[E, F] = H$$
ルート分解
$$\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak{g}_\alpha$$
ワイルの次元公式
$$\dim V_\lambda = \prod_{\alpha > 0}\dfrac{(\lambda + \rho, \alpha)}{(\rho, \alpha)}$$
角運動量の交換関係
$$[L_x, L_y] = i\hbar L_z$$
（$\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$）
前提知識
- 入門：線形代数（行列、固有値）、群論の基礎
- 初級：入門の内容、抽象代数の基礎
- 中級：初級の内容、線形代数（双対空間、双線形形式）
- 上級：中級の内容、表現論の基礎、テンソル積
よくある質問
リー代数とはどのような数学的構造ですか？
リー代数はベクトル空間に「リー括弧」（交換子積）$[X,Y]$ を備えた代数構造です。二重線形・反対称性（$[X,Y]=-[Y,X]$）・ヤコビ恒等式（$[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0$）の3条件を満たします。リー群の無限小構造を捉え、対称性・微分方程式・素粒子物理の基礎として使われます。
リー代数とリー群はどのように関係していますか？
リー群 $G$（連続対称性の群）の単位元での接空間（接ベクトル全体）が、そのリー代数 $\mathfrak{g}$ です。指数写像 $\exp: \mathfrak{g}\to G$ でリー代数の要素からリー群の元が得られます。局所的には $G$ の構造が $\mathfrak{g}$ で完全に記述され、物理での保存則（ネーターの定理）がリー代数の言語で統一的に表されます。
リー代数の物理への応用例を教えてください。
$\mathfrak{su}(2)$（スピン角運動量・アイソスピン）、$\mathfrak{su}(3)$（クォークのカラー対称性・素粒子標準模型）、$\mathfrak{so}(3)$（空間回転・剛体力学）、$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$（調和振動子・ケプラー問題の対称性）などが典型的な物理への応用です。ルート系・ワイルの指標公式が素粒子分類（八道説）の基礎です。