証明初級編

難易度: 初級

証明を書く基本技法

この編で学ぶこと

入門編で証明を「読む」力を身につけた。この編では証明を「書く」技術を学ぶ。

直接証明の書き方
背理法（矛盾による証明）
対偶証明
数学的帰納法

目次

第1章直接証明
仮定から出発して結論に到達する基本形
第2章背理法
矛盾を導いて証明する方法
第3章対偶証明
対偶を示すことで元の命題を証明する
第4章数学的帰納法
自然数に関する命題の強力な証明法
第5章存在と一意性の証明
「存在する」「ただ一つ」の示し方
第6章練習問題
初級編の総まとめ

前提知識

入門編の内容（命題、論理演算、ならば、対偶）
中学数学程度の知識

読み物

ドミノ倒しの数学［読み物］
無限個の主張をなぜ二段階で証明できるのか。数学的帰納法を「ドミノ倒し」のたとえで直感的に味わう。
裏口から攻める［読み物］
「A ならば B」が示しにくいとき、なぜ「B でないなら A でない」を示せば済むのか。対偶という裏口を使う証明の発想と使いどころを語る。
逆を仮定して、壊れるのを見る［読み物］
示したいことをわざと否定すると、なぜ正しさが浮かび上がるのか。背理法の発想を、素数が無限にあるというユークリッドの名論法を題材に味わう。

よくある質問

証明の初級編で学ぶ内容は何か。

直接証明・背理法・対偶証明・数学的帰納法・存在と一意性の証明という 5 つの基本技法を学ぶ。具体的な例題を通じて「仮定から結論へ論理的に推論を進める」証明の書き方を習得する。

数学の証明を初めて学ぶ人に必要な前提知識は何か。

高校レベルの代数（整数・不等式・関数の基本）と論理記号（「かつ」「または」「ならば」「全称 ∀」「存在 ∃」）の基本的な理解があれば十分である。論理学の厳密な知識は中級以降で深める。

証明技法を学ぶことの意義は何か。

証明技法を身につけることで、数学的命題の正しさを確認する方法を理解でき、理工学・情報科学全般の論理的思考力が向上する。アルゴリズムの正しさの検証や、数値計算の誤差評価など実用的な場面でも役立つ。