\(sin(x)\) の剰余項を超幾何関数で表す

正弦波 \(\sin(x)\) を Taylor 展開すると次のように表せます。 \begin{eqnarray} \sin(x) &=& x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1} + R(x) \end{eqnarray} ここに \(R(x)\) は剰余項で \begin{eqnarray} R(x) &=& (-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1} \cos\theta x,\ 0<\theta<1 \end{eqnarray} と書けますが、\(\cos\theta x\) 部分は \(0<\theta<1\) を伴う曖昧な見積もりではなく、超幾何関数 \(_1F_2\) を使って \begin{eqnarray} R(x) &=& (-1)^n \frac{1}{(2 n+1)!} x^{2 n+1} \, _1F_2\left(1;n+1,n+\frac{3}{2};-\frac{x^2}{4}\right) \label{Rx} \end{eqnarray} と正確に表せますので、指定精度を達成するのに必要な項数は式(\ref{Rx})から逆算できそう…。