畳み込みのFourier変換

畳み込みの Fourier 変換

関数 $f(t),g(t)$ の Fourier 変換を $\omega$ を角周波数として \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} \, dt \label{Fw} \\ G(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty g(t) e^{-i\omega t} \, dt \label{Gw} \end{eqnarray} で表すと、両者の畳み込み $f(t)*g(t)$ の Fourier 変換は \begin{eqnarray} \mathscr{F}[f(t)*g(t)] &=& \int_{-\infty}^\infty f(t)*g(t) e^{-i\omega t} \, dt \\ && 定義式(\ref{conv}) より \nonumber\\ &=& \int_{-\infty}^\infty \left\{ \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \right\} e^{-i\omega t} \, dt \\ && {\rm Fubini} の定理のもとで積分順序を交換すれば \nonumber\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \left\{ \int_{-\infty}^\infty g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt \right\} d\tau \label{Ffg} \end{eqnarray} ここで \begin{eqnarray} t - \tau \to u, \quad (du = dt) \end{eqnarray} と変数変換すると、式(\ref{Ffg})の $\{\quad\}$ 内は \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty g(t - \tau) e^{-i\omega t} \, dt &=& \int_{-\infty}^\infty g(u) e^{-i\omega (u + \tau)} \, du \\ && exp を 2 つに分解して \nonumber\\ &=& \int_{-\infty}^\infty g(u) e^{-i\omega u} e^{-i\omega \tau} \, du \\ && e^{-i\omega \tau} は u に関係しないので積分の外に出せて \nonumber\\ &=& e^{-i\omega \tau} \int_{-\infty}^\infty g(u) e^{-i\omega u} \, du \\ && 式(\ref{Gw}) より \nonumber\\ &=& e^{-i\omega \tau} G(\omega) \\ \end{eqnarray} と書けますので \begin{eqnarray} \mathscr{F}[f(t)*g(t)] &=& \int_{-\infty}^\infty f(\tau) e^{-i\omega \tau} G(\omega) d\tau \\ && G(\omega) は \tau に関係しないので積分の外に出せて \nonumber\\ &=& \left\{\int_{-\infty}^\infty f(\tau) e^{-i\omega \tau} \, d\tau\right\} G(\omega) \\ && 式(\ref{Fw}) より \nonumber\\ &=& F(\omega) G(\omega) \end{eqnarray} のように $f(t), g(t)$ の Fourier 変換 $F(\omega), G(\omega)$ の積で表せることがわかります。