ラプラス変換

ラプラス変換の定義

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ラプラス逆変換

ラプラス逆変換の公式

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ラプラス逆変換を導く

$F(s)$ のラプラス逆変換が $f(t)$ に等しいことを示します

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ラプラス逆変換の公式を導く

ラプラス変換

因果的な信号 $f(t)$ \begin{eqnarray} f(t) &=& 0,\ t<0 \end{eqnarray} のラプラス変換は、次のように定義されます。 \begin{eqnarray} F(s) &=& \int_0^\infty f(t) e^{-s t} dt \label{Fs} \end{eqnarray}

ラプラス逆変換

$F(s)$ のラプラス逆変換は次のように計算できます。 \begin{eqnarray} f(t) &=& \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} F(s) e^{s t} ds \label{invL} \end{eqnarray} ただし $\sigma$ は $F(s)$ の極の実部の最大値より大きく取るものとします。

ラプラス逆変換を導く

なぜ式(\ref{invL})で $F(s)$ から元の信号 $f(t)$ が得られるのか、考えてみましょう。

コーシーの積分公式より、正則な領域に含まれる周回積分路 $C$ 内の点 $p$ を考えると、次式が成り立ちます。 \begin{eqnarray} F(p) &=& \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{F(s)}{s-p} ds \end{eqnarray} 周回積分路 $C$ として、図1のように、上から下に向かう線分 $Br$と、その右側の半円 $\Gamma$ が合わさったものを採用します。 \begin{eqnarray} F(p) &=& \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{F(s)}{s-p} ds \nonumber\\ &=& \frac{1}{2\pi i} \left\{ \int_{Br} \frac{F(s)}{s-p} ds + \int_\Gamma \frac{F(s)}{s-p} ds \right\} \end{eqnarray}

図1 : $F(p)$ は $C$ 上の周回積分で計算できる
$F(s)$ が無限遠点で $\displaystyle\lim_{|s|\to\infty} |F(s)|=0$ を満たす場合、$R\to\infty$ で半円 $\Gamma$ 部分の線積分は 0 になりますから、$F(p)$ は次のように書けます。 \begin{eqnarray} \require{cancel} F(p) &=& \frac{1}{2\pi i} \lim_{R\to\infty} \left\{ \int_{Br} \frac{F(s)}{s-p} ds + \cancel{\int_\Gamma \frac{F(s)}{s-p} ds} \right\} \\ &=& \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma+i\infty}^{\sigma-i\infty} \frac{F(s)}{s-p} ds \\ && 線積分の向きを逆にすれば \nonumber\\ &=& -\frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \frac{F(s)}{s-p} ds \label{Fp} \\ &&  {\scriptsize 【参考】この積分路をブロムウィッチ\ (Bromwich)\ 積分路といいます} \nonumber \end{eqnarray} ここで $\displaystyle\int_0^\infty e^{-(p-s)t} dt$ というものを考えると、$p$ は $C$ の内部にあり $Br$ より右にありますから $Re[p-s]>0$ で、 \begin{eqnarray} \int_0^\infty e^{-(p-s)t} dt &=& \left[ -\frac{1}{p-s} e^{-(p-s)t} \right]_0^\infty \\ && Re[p-s]>0\ だから \left.e^{-(p-s)t}\right|_{t=\infty}=0\ であり、\left.e^{-(p-s)t}\right|_{t=0}=1\ なので \nonumber\\ &=& -\frac{1}{p-s} \left\{ 0 - 1\right\} \\ &=& \frac{1}{p-s} \end{eqnarray} より、以下が成り立ちます。 \begin{eqnarray} \frac{1}{s-p} &=& -\int_0^\infty e^{-(p-s)t} dt \end{eqnarray} これを式(\ref{Fp})に代入すると、$F(p)$ は次のように書けます。 \begin{eqnarray} F(p) &=& \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} F(s) \left[ \int_0^\infty e^{-(p-s)t} dt\right]\ ds \\ &=& \int_0^\infty \left[ \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} F(s) e^{s t} ds \right] e^{-p t} dt \label{Fp1} \end{eqnarray} 一方、ラプラス変換の定義式(\ref{Fs})の $s$ を $p$ に置き換えると次のようになります。 \begin{eqnarray} F(p) &=& \int_0^\infty f(t) e^{-p t} dt \label{Fp2} \end{eqnarray} 式(\ref{Fp1})と式(\ref{Fp2})を見比べると、式(\ref{Fp1})の [  ] の中は式(\ref{invL})そのものであり、それが式(\ref{Fp2})の $f(t)$ に相当することが分かります。

よって、次式で元の信号 $f(t)$ を求めることができます。 \begin{eqnarray} f(t) &=& \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} F(s) e^{s t} ds \nonumber \end{eqnarray}