Cardanoの公式で実根を求める

はじめに

3次の代数方程式の実根のひとつを Cardano の公式で求めます。

解法

実係数3次代数方程式 \begin{eqnarray} f(x) &=& a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 &=& 0 \end{eqnarray} の全体を $a_3$ で割ると \begin{eqnarray} x^3 + \frac{a_2}{a_3} x^2 + \frac{a_1}{a_3} x + \frac{a_0}{a_3} &=& 0 \end{eqnarray} これを \begin{eqnarray} g(x) &=& x^3 + A_2 x^2 + A_1 x + A_0 \end{eqnarray} と書き、$x=y-\frac{A_2}{3}$ を代入すると \begin{eqnarray} g\left(y-\frac{A_2}{3}\right) &=& \left(y-\frac{A_2}{3}\right)^3 + A_2 \left(y-\frac{A_2}{3}\right)^2 + A_1 \left(y-\frac{A_2}{3}\right) + A_0 \\ &=& y^3+\left(A_1-\frac{A_2^2}{3}\right)y+A_0-\frac{A_1 A_2}{3}+\frac{2 A_2^3}{27} \\ \end{eqnarray} さらにこれを \begin{eqnarray} h(y) &=& y^3 + p y + q \end{eqnarray} と書いて、$y=u+v$ を代入し、 \begin{eqnarray} h(u+v) &=& (u+v)^3 + p(u+v) + q \\ &=& u^3 +v^3 +q + p u+p v+3 u^2 v+3 u v^2 \\ &=& u^3 +v^3 +q + (u+v) (p+3 u v) \\ &=& 0 \end{eqnarray} とした場合、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} u^3 +v^3 +q &=& 0 \\ p+3 u v &=& 0 \end{array} \right. \label{p3uv} \end{eqnarray} が満たされれば $h(u+v)=0$ になります。式(\ref{p3uv})の 2 つ目の式を変形してゆくと \begin{eqnarray} p+3 u v &=& 0 \\ 3 u v &=& -p \\ v &=& -\frac{p}{3 u} \label{v} \end{eqnarray} となり、これを式(\ref{p3uv})の 1 つ目の式に代入すると \begin{eqnarray} u^3 +v^3 +q &=& u^3 +\left(-\frac{p}{3 u}\right)^3 +q \\ &=& u^3 -\frac{p^3}{27 u^3} +q \\ &=& 0 \end{eqnarray} $u^3$ 倍して \begin{eqnarray} \left(u^3\right)^2 +q u^3 -\frac{p^3}{27} &=& 0 \end{eqnarray} $t=u^3$ とすると \begin{eqnarray} t^2 +q t -\frac{p^3}{27} &=& 0 \end{eqnarray} の 2 次方程式になります。これを解の公式で解けば \begin{eqnarray} t &=& \frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4 p^3}{27}}}{2} \\ &=& -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} \\ &=& -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} \label{t} \end{eqnarray} ここでは桁落ちを防ぐため、式(\ref{t})の復号 $\pm$ には $-\frac{q}{2}$ と同じ符号 (つまり $q$ と逆の符号) を採用するものとします。

$t$ が求まれば \begin{eqnarray} u &=& t^\frac{1}{3} \end{eqnarray} で $u$ を計算でき、式(\ref{v})で $v$ が求まり、$y=u+v$ から $x=y-A_2/3$ で実根が得られます。