オイラーの公式による sin, cos の加法定理

三角関数の加法定理、ごちゃごちゃしていて覚えにくいですよね。 \begin{eqnarray} \cos(\alpha\pm \beta) &=& \cos \alpha\cos \beta\mp \sin \alpha\sin \beta \label{cosxy}\\ \sin(\alpha\pm \beta) &=& \sin \alpha\cos \beta\pm \cos \alpha\sin \beta \label{sinxy} \end{eqnarray} 式(\ref{cosxy})は「コスモス、コスモス、咲いた咲いた」、 式(\ref{sinxy})は「咲いたコスモス、コスモス咲いた」 と覚える暗記法がありますが、どっちがどっちか忘れたらアウトですし、式(\ref{cosxy})は複号が $\pm$ ではなく $\mp$ である点もうっかりしやすいです。

そこでオイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{i\theta } &=& \cos \theta +i\sin \theta \label{Euler} \end{eqnarray} を使って三角関数の加法定理を導出しましょう。このやり方を覚えておけば、「いざ」という時に自力で公式を導けます。

オイラーの公式(\ref{Euler})を使うと \begin{eqnarray} e^{i\alpha} &=& \cos \alpha +i\sin \alpha \label{eia} \\ e^{i\beta} &=& \cos \beta +i\sin \beta \end{eqnarray} ですが、$e^{i\beta}$ の方は複号を付けて次のように書くことにしましょう。 \begin{eqnarray} e^{\pm i\beta} &=& \cos \beta \pm i\sin \beta \label{eib} \end{eqnarray} すると、オイラーの公式より \begin{eqnarray} \cos(\alpha\pm\beta) +i\sin(\alpha\pm\beta) &=& e^{i(\alpha\pm\beta)} \\ && 指数関数の性質から、2 つに分けることができて \nonumber\\ &=& e^{i\alpha} e^{\pm i\beta} \\ && オイラーの公式より \nonumber\\ &=& \left(\cos \alpha +i\sin \alpha\right) \left(\cos \beta \pm i\sin \beta\right) \\ && 展開して \nonumber\\ &=& \cos \alpha \cos \beta + i\sin \alpha \cos \beta \pm i \cos \alpha \sin \beta \pm i^2 \sin \alpha \sin \beta \\ && i^2=-1 だから \pm i^2 は \mp と書け \nonumber\\ &=& \cos \alpha \cos \beta + i\sin \alpha \cos \beta \pm i \cos \alpha \sin \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ && 実部と虚部をまとめると \nonumber\\ &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta + i \left(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \right) \end{eqnarray} 両辺を比べると \begin{eqnarray} 実部: \cos(\alpha\pm\beta) &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta … 式(\ref{cosxy})\nonumber\\ 虚部: \sin(\alpha\pm\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta … 式(\ref{sinxy}) \nonumber \end{eqnarray} となり、式(\ref{cosxy}),式(\ref{sinxy}) を導けました。

$\cos(\alpha+\beta), \sin(\alpha+\beta)$ の公式だけでよいのなら \begin{eqnarray} \cos(\alpha+\beta) +i\sin(\alpha+\beta) &=& e^{i(\alpha+\beta)} \\ && 指数関数の性質から、2 つに分けることができて \nonumber\\ &=& e^{i\alpha} e^{i\beta} \\ && オイラーの公式より \nonumber\\ &=& \left(\cos \alpha +i\sin \alpha\right) \left(\cos \beta + i\sin \beta\right) \\ && 展開して \nonumber\\ &=& \cos \alpha \cos \beta + i\sin \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta + i^2 \sin \alpha \sin \beta \\ && i^2=-1 だから \nonumber\\ &=& \cos \alpha \cos \beta + i\sin \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ && 実部と虚部をまとめると \nonumber\\ &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + i \left(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \right) \end{eqnarray} 両辺を比べると次式を得ます。 \begin{eqnarray} 実部: \cos(\alpha+\beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \label{cosab}\\ 虚部: \sin(\alpha+\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \label{sinab} \end{eqnarray} もし $\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta)$ の公式も欲しい場合は \begin{eqnarray} \cos(-\beta) &=& \cos\beta \\ \sin(-\beta) &=& -\sin\beta \end{eqnarray} を利用して先程の式(\ref{cosab}),式(\ref{sinab})の $\sin\beta$ を含む項を書き換え \begin{eqnarray} \cos(\alpha-\beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - (\sin \alpha) (-\sin \beta) \\ &=& \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ \sin(\alpha-\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + (\cos \alpha) (-\sin \beta) \\ &=& \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{eqnarray} を得る方が簡単かもしれませんね。