ディリクレ核

ディリクレ核 (Dirichlet kernel) \begin{eqnarray} D_n(x) &=& 1+2\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(k x) \label{dirichlet} \\ &=& \displaystyle\frac{\sin\left\{\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)x\right\}}{\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)},\ x\neq 2m\pi, m\in Z \label{dirichlet2} \end{eqnarray} を証明します。

図1 : ディリクレ核 \(D_n(x)\)

方針

式(\ref{dirichlet}) \begin{eqnarray} 1+2\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(k x) \nonumber \end{eqnarray} と、式(\ref{dirichlet2}) \begin{eqnarray} \displaystyle\frac{\sin\left\{\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)x\right\}}{\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)} \nonumber \end{eqnarray} それぞれに \(\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\) を掛けたものが等しいこと、すなわち \begin{eqnarray} \left\{1+2\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(k x)\right\} \sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right) &=& \sin\left\{\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} \label{eq} \end{eqnarray} を示す。

証明

式(\ref{eq}) の左辺を \(f(x)\) とすると \begin{eqnarray} \require{cancel} f(x)&=& \left\{1+2\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(k x)\right\}\sin(x/2) \\ &=& \sin(x/2)+2\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(k x)\sin(x/2) \\ && 第2項を三角関数の積和公式 \cos(\alpha)\sin(\beta) = \displaystyle\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\} で書き換えて \nonumber\\ &=& \sin(x/2) + \displaystyle\sum_{k=1}^n \left[\sin\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right\} - \sin\left\{\left(k-\frac{1}{2}\right)x\right\}\right] \\ && \sum 内を2つに書き分け \nonumber\\ &=& \sin(x/2) + \displaystyle\sum_{k=1}^n \sin\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right\} - \displaystyle\sum_{k=1}^n \sin\left\{\left(k-\frac{1}{2}\right)x\right\} \\ && 第3項の k の取り方を 1 だけズラして \nonumber\\ &=& \sin(x/2) + \displaystyle\sum_{k=1}^n \sin\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right\} - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right\} \\ && 第2項の k=n の項と、第3項の k=0 の項を、\sum の外に出して \nonumber\\ &=& \cancel{\sin(x/2)} + \sin\left\{\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} + \bcancel{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \sin\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right\}} - \cancel{\sin(x/2)} - \bcancel{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \sin\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right\}} \\ && 第2項だけが残り \nonumber\\ &=& \sin\left\{\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} \end{eqnarray} これは式(\ref{eq}) の右辺に等しい。従って、式(\ref{dirichlet})のディリクレ核 \(D_n(x)\) は式(\ref{dirichlet2})のように書くことができる。