振幅と位相が異なる正弦波の和

はじめに

振幅と位相が異なる 2 つの正弦波の和の公式を導きます。 \begin{eqnarray} a \sin x + b \sin(x+\theta) &=& c \sin(x+\phi), \label{mix}\\ && c=\sqrt{a^2+2 a b \cos\theta + b^2}, \\ && \phi=\sin^{-1}\frac{b \sin\theta}{\sqrt{a^2+2 a b \cos\theta + b^2}} \end{eqnarray}

導き方

正弦の加法定理 \begin{eqnarray} \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta \end{eqnarray} を使うと式(\ref{mix})は次のように表せます。 \begin{eqnarray} a \sin x + b \sin(x+\theta) &=& a \sin x + b (\sin x \cos\theta+\cos x \sin\theta) \\ &=& (a+b\cos\theta) \sin x + b \sin\theta \cos x \\ \end{eqnarray} これに三角関数の合成公式 \begin{eqnarray} A \sin x + B \cos x &=& \sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\phi),\\ && \phi=\sin^{-1}\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{eqnarray} を適用するには \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} A &=& a+b\cos\theta \\ B &=& b \sin\theta \end{array} \right. \end{eqnarray} とすればよく \begin{eqnarray} A^2+B^2 &=& (a+b\cos\theta)^2+(b \sin\theta)^2 \\ &=& a^2+2 a b \cos\theta + b^2 \cos^2\theta + b^2 \sin^2\theta \\ && \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 ですから \nonumber\\ &=& a^2+2 a b \cos\theta + b^2 \label{A2B2} \end{eqnarray} より \begin{eqnarray} a \sin x + b \sin(x+\theta) &=& c \sin(x+\phi) \end{eqnarray} とすると、式(\ref{A2B2})より \begin{eqnarray} c &=& \sqrt{A^2+B^2}\\ &=& \sqrt{a^2+2 a b \cos\theta + b^2} \end{eqnarray} また \begin{eqnarray} \phi &=& \sin^{-1}\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ &=& \sin^{-1}\frac{b \sin\theta}{\sqrt{a^2+2 a b \cos\theta + b^2}} \end{eqnarray}