代数方程式の根の存在範囲

はじめに

代数方程式の根を数値的に求める際の初期値として、根の存在範囲がわかっていると助かります。ここでは最もシンプルで簡単な存在範囲の定理を証明します (以下、定理と証明は「である調」にさせていただきます)。

式(\ref{fz}) の代数方程式を考える。係数 \(a_n\) は実数でも複素数でもよい。 \begin{eqnarray} f(z) = \sum_{n=0}^N a_n z^n = 0,\quad a_N=1,\ N\lt\infty \label{fz} \end{eqnarray} 係数の最大絶対値を \begin{eqnarray} M &=& \max_{0\leq n\lt N}(|a_n|) \label{M} \end{eqnarray} と書くと、\(f(z)=0\) の根 \(p_i,\ n=1,2,\cdots N\) は、全て \begin{eqnarray} |p_i| \leq M+1 \end{eqnarray} を満たす。つまり図1のように、原点を中心にした半径 \(M+1\) の円外に根はない。

図1 : \(f(z) = 0\) の根は全て、原点を中心とする
半径 \(M+1\) の円内にある

証明

原点を中心にした半径 \(M+1\) の円外に根 \(q\) が存在すると仮定して矛盾を導く (背理法)。

図2 : 根 \(q\) が半径 \(M+1\) の円外にあると仮定する

式(\ref{fz})は円外の根 \(q\) に対しても成り立つから \begin{eqnarray} f(q) &=& \sum_{n=0}^N a_n q^n\ =\ 0 \end{eqnarray} 式(\ref{fz})後半より \(a_N=1\) なので、\(N\) 次の項を分けて次のように書き換える。 \begin{eqnarray} q^N + \sum_{n=0}^{N-1} a_n q^n &=& 0 \end{eqnarray} \(q^n\) を移項すれば \begin{eqnarray} -q^N &=& \sum_{n=0}^{N-1} a_n q^n \label{pkn} \end{eqnarray} 両辺の絶対値を取ると \begin{eqnarray} |q|^N &=& \left|\sum_{n=0}^{N-1} a_n q^n\right| \\ && 三角不等式 \left|\sum x_n\right| \leq \sum |x_n| より \nonumber\\ &\leq& \sum_{n=0}^{N-1} |a_n q^n| \ =\ \sum_{n=0}^{N-1} |a_n||q|^n \\ && 式(\ref{M})より |a_n|\leq M だから \nonumber\\ &\leq& \sum_{n=0}^{N-1} M|q|^n \\ &=& M \sum_{n=0}^{N-1} |q|^n \end{eqnarray} \(\sum\) 以降は公比 \(|q|\) の等比数列の和で、根 \(q\) が半径 \(M+1\) の円外にあるとの仮定より \(|q|\neq 1\) であり、かつ \(N\lt\infty\) だから \begin{eqnarray} \require{cancel} |q|^N &=& M \frac{|q|^N-1}{|q|-1} \\ \label{Mfrac} && |q|\gt M+1 と仮定したので \nonumber\\ &\lt& M \frac{|q|^N-1}{(M+\cancel 1)-\cancel 1} \ =\ \cancel M \frac{|q|^N-1}{\cancel M} \\ &=& |q|^N-1 \end{eqnarray} 両辺から \(|q|^N\) を引くと \begin{eqnarray} \cancel{|q|^N} &\lt& \cancel{|q|^N}-1 \nonumber\\ &\downarrow& \nonumber\\ 0 &\lt& -1 \end{eqnarray} となり「0 が -1 より小さい」という矛盾を生じる。よって円外に根が存在するとした仮定は誤りである。

図3 : 半径 \(M+1\) の円外に根はありえない

数値例

代数方程式 \begin{eqnarray} f(z) = z^3-z^2-z-1 = 0 \end{eqnarray} の根 \(p_i\) を数値的に求めると \begin{eqnarray} \begin{array}{lll} p_1 &=& 1.83929 \\ p_2 &=& -0.419643+0.606291i\\ p_3 &=& -0.419643-0.606291i \end{array} \end{eqnarray} であり、各根の絶対値 \(|p_i|\) は以下のようになります。 \begin{eqnarray} \begin{array}{lll} |p_1| &=& 1.83929 \\ |p_2| &=& 0.737353 \\ |p_3| &=& 0.737353 \end{array} \end{eqnarray} \(f(z)\) の係数は \(\pm 1\) ですから円の半径は \(M+1=2\) で、根は全て半径 2 の円内にあることがわかります。

図4 : \(f(z) = z^3-z^2-z-1 = 0\) の根の位置