ヘロン (Heron) の公式

はじめに

3角形の頂点 $A,B,C$ の対辺の長さを $a,b,c$ とすると、3角形 $ABC$ の面積は \begin{eqnarray} s &=& \frac{a+b+c}{2} \label{s} \end{eqnarray} を用いて \begin{eqnarray} S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \end{eqnarray} で計算できます (ヘロンの公式)。

図1 : 3 辺の長さが $a,b,c$ の3角形の面積 $S$

証明

$A$ から対辺 $BC$ に下ろした垂線の長さを $h$ とします。

図2 : $A$ から対辺 $BC$ に下ろした垂線の長さを $h$ とする

3角形の面積 $S$ は「底辺×高さ÷2」ですから次式で計算できます。 \begin{eqnarray} S &=& \frac{ah}{2} \label{S} \end{eqnarray} ここで垂線の長さ $h$ は、頂角 $C$ によって次のように表せます。 \begin{eqnarray} h &=& b \sin C \\ && \cos^2 C+\sin^2 C=1\ かつ\ 0\lt C\ より\ \sin C=\sqrt{1-\cos^2 C}\ ですから \nonumber\\ &=& b \sqrt{1-\cos^2 C} \\ &=& b \sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)} \label{h} \end{eqnarray} 第2余弦定理 \begin{eqnarray} c^2 &=& a^2 + b^2 -2a b \cos C \end{eqnarray} から \begin{eqnarray} \cos C &=& \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a b} \end{eqnarray} と書けますので、式(\ref{h})は \begin{eqnarray} \require{cancel} h &=& b \sqrt{\left(1+\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a b}\right)\left(1-\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a b}\right)} \\ &=& b \sqrt{\left(\frac{a^2 + 2 a b +b^2 - c^2}{2a b}\right)\left(-\frac{a^2 -2 a b + b^2 - c^2}{2a b}\right)} \\ &=& \frac{\cancel{b}}{2a \cancel{b}} \sqrt{-\left(a^2 + 2 a b +b^2 - c^2\right)\left(a^2 -2 a b + b^2 - c^2\right)} \\ &=& \frac{1}{2a} \sqrt{-\left\{(a+b)^2 - c^2\right\} \left\{(a-b)^2 - c^2\right\}} \\ \end{eqnarray} となり、式(\ref{S})に代入すると \begin{eqnarray} S &=& \frac{\cancel{a}}{2} \frac{1}{2\cancel{a}} \sqrt{-\left\{(a+b)^2 - c^2\right\} \left\{(a-b)^2 - c^2\right\}} \\ &=& \frac{1}{4} \sqrt{-\left\{(a+b)^2 - c^2\right\} \left\{(a-b)^2 - c^2\right\}} \\ &=& \frac{1}{4} \sqrt{-\left\{(a+b) + c\right\}\left\{(a+b) - c\right\} \left\{(a-b) + c\right\}\left\{(a-b) - c\right\}} \\ &=& \frac{1}{4} \sqrt{-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)} \\ && 順序を入れ替えて \nonumber\\ &=& \frac{1}{4} \sqrt{-(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)} \\ && 平方根の中のマイナスを\ 2\ 番目の (a-b-c) に掛けて \nonumber\\ &=& \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \label{S2} \end{eqnarray} ここで式(\ref{s}) \begin{eqnarray} s &=& \frac{a+b+c}{2} \nonumber \end{eqnarray} を使うと、式(\ref{S2})は \begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{4} \sqrt{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)} \\ &=& \frac{1}{\cancel{4}} \sqrt{\cancel{16}s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \label{Heron} \end{eqnarray} と書けます。

計算例

図3のような $a=4,b=3,c=5$ の直角三角形を考えると \begin{eqnarray} s &=& \frac{a+b+c}{2} \nonumber\\ &=& \frac{3+4+5}{2} &=& 6 \end{eqnarray} を使って、ヘロンの公式(\ref{Heron})で計算すると \begin{eqnarray} S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \nonumber\\ &=& \sqrt{6(6-4)(6-3)(6-5)} &=& \sqrt{6\cdot 2\cdot 3 \cdot 1} &=& \sqrt{36} &=& 6 \end{eqnarray} これは図3の直角三角形の面積 = 底辺 4 × 高さ 3 ÷ 2 = 6 に一致しています。

図3 : 3 辺の長さが 3,4,5 の三角形の面積は 6