平面上の2点を通る直線の方程式

はじめに

平面上の 2 点 $(x_0,y_0), (x_1, y_1)$ を通る直線の方程式 $a x+b y+c=0$ を求めたい。

計算

2 点 $(x_0,y_0), (x_1, y_1)$ を通る直線は \begin{eqnarray} y &=& \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)+y_0 \end{eqnarray} と表わせる。移項すると \begin{eqnarray} \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)+y_0-y &=& 0 \end{eqnarray} 両辺を $x_1-x_0$ 倍すると \begin{eqnarray} (y_1-y_0)(x-x_0)+(x_1-x_0)(y_0-y) &=& 0 \end{eqnarray} 展開して \begin{eqnarray} (y_1-y_0)x-(y_1-y_0)x_0+(x_1-x_0)y_0-(x_1-x_0)y &=& 0 \end{eqnarray} 順序を入れ替えると \begin{eqnarray} (y_1-y_0)x - (x_1-x_0)y -(y_1-y_0)x_0 + (x_1-x_0)y_0 &=& 0 \end{eqnarray} 第3,4項を展開すると \begin{eqnarray} \require{cancel} (y_1-y_0)x - (x_1-x_0)y -x_0 y_1 + \cancel{x_0 y_0} + x_1 y_0 - \cancel{x_0 y_0} &=& 0 \end{eqnarray} より \begin{eqnarray} (y_1-y_0)x - (x_1-x_0)y + (x_1 y_0 -x_0 y_1) &=& 0 \end{eqnarray} だから、直線の方程式 $a x+b y+c=0$ の $a,b,c$ は次のようになる。 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} a &=& y_1-y_0 \\ b &=& x_0-x_1 \\ c &=& x_1 y_0 - x_0 y_1 \end{array} \right. \label{abc} \end{eqnarray}

計算例

点 $(1,1)$ と点 $(2,2)$ を通る直線は $x_0=1,y_0=1,x_1=2,y_1=2$ を式(\ref{abc})代入して \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} a &=& 2-1 &=& 1 \\ b &=& 1-2 &=& -1 \\ c &=& 2\cdot 1 - 1\cdot 2 &=& 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} より、この直線の方程式は \begin{eqnarray} x-y &=& 0 \end{eqnarray} である。