指定した3点を通る2次曲線

はじめに

指定した 3点 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ を通る 2 次曲線 \begin{eqnarray} f(x) &=& a x^2 + b x + c \label{fx} \end{eqnarray} を求めたい。ただし $x_1,x_2,x_3$ は全て異なるものとする。

解法

式(\ref{fx})より \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} a x_1^2 + b x_1 + c &=& y_1 \\ a x_2^2 + b x_2 + c &=& y_2 \\ a x_3^2 + b x_3 + c &=& y_3 \end{array} \right. \end{eqnarray} 行列で書けば \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{lll} x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right) \end{eqnarray} よって係数 $a,b,c$ は次式で計算できる。 \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{lll} x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right) \\ &=& \frac{-1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \left( \begin{array}{l} x_1 (y_3-y_2)+x_2 (y_1-y_3)+x_3 (y_2-y_1) \\ x_1^2 (y_2-y_3)+x_2^2 (y_3-y_1)+x_3^2 (y_1-y_2) \\ x_1 x_2 (x_1-x_2)y_3 + x_2 x_3 (x_2-x_3)y_1 + x_1 x_3 (x_3-x_1)y_2 \end{array} \right) \label{abc} \end{eqnarray}

極値の位置

式(\ref{fx}) \begin{eqnarray} f(x) &=& a x^2 + b x + c \nonumber \end{eqnarray} の微分は \begin{eqnarray} \frac{d}{dx}f(x) &=& \frac{d}{dx} (a x^2 + b x + c) \\ &=& 2a x + b \end{eqnarray} だから、$f(x)$ の傾きが 0 になるのは \begin{eqnarray} 2a x + b &=& 0 \end{eqnarray} より、極値の位置は \begin{eqnarray} x &=& -\frac{b}{2a} \end{eqnarray} 式(\ref{abc})の $a,b,c$ を代入して整理すると \begin{eqnarray} x_e &=& \frac{1}{2}\frac{x_1^2 (y_3-y_2)+x_2^2 (y_1-y_3)+x_3^2 (y_2-y_1)}{x_1 (y_3-y_2)+x_2 (y_1-y_3)+x_3 (y_2-y_1)} \\ \end{eqnarray} である。

$x$ が等間隔の場合

点の $x$ 位置が等間隔に与えられており、$x_1=-1, x_2=0, x_3=1$ の場合は \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{l} (y_1-2 y_2+y_3)/2 \\ (y_3-y_1)/2 \\ y_2 \end{array} \right) \end{eqnarray} となり、極値の位置は次式となる。 \begin{eqnarray} x_e &=& \frac{1}{2}\frac{y_1-y_3}{y_1-2 y_2+y_3} \end{eqnarray}

図1 : 3点 $(-1,-1), (0,1), (1,-1/2)$ を通る
2 次曲線は $f(x)=-\frac{7 x^2}{4}+\frac{x}{4}+1$,
極値は $x=1/14$ にある