相加相乗平均の不等式

概要

相加平均は算術平均とも呼ばれ、日常的に使われる「平均」のことです。 \begin{equation} a = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} x_n = \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{N-1}}{N} \end{equation}

一方、相乗平均は次のように定義される平均の一種で、幾何平均とも呼ばれます。 \begin{equation} g = \left(\prod_{n=0}^{N-1} x_n\right)^\frac{1}{N} = \sqrt[N]{x_0 x_1 \cdots x_{N-1}} \label{幾何平均} \end{equation}

\(x_n\geqq 0,\ n=0,1,2,\cdots x_{N-1}\) と仮定すると、相加平均と相乗平均の間には常に「相加平均 \(\geqq\) 相乗平均」の関係 \begin{equation} \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{N-1}}{N} \geqq \sqrt[N]{x_0 x_1 \cdots x_{N-1}} \label{相加相乗平均} \end{equation} が成り立ち、これを「相加相乗平均の不等式」といいます。

証明

\(N=2\) の場合

式(\ref{相加相乗平均})で \(N=2\) とした次式が成り立つことを示します。 \begin{eqnarray} \frac{x_0 + x_1}{2} &\geqq& \sqrt{x_0 x_1} \label{x0x1div2sqrtx0x1} \end{eqnarray} 両辺に 2 を掛け \begin{eqnarray} x_0 + x_1 &\geqq& 2 \sqrt{x_0 x_1} \label{xx} \end{eqnarray} 移項すれば \begin{eqnarray} x_0 + x_1 - 2 \sqrt{x_0 x_1} &\geqq& 0 \label{x0x12sqrtx0x1} \end{eqnarray} 仮定から \(x_0, x_1\geqq 0\) ですので、式(\ref{x0x12sqrtx0x1})の左辺は \begin{eqnarray} x_0 + x_1 - 2 \sqrt{x_0 x_1} &=& \left(\sqrt{x_0} - \sqrt{x_1}\right)^2 \end{eqnarray} と書け、 \begin{eqnarray} \left(\sqrt{x_0} - \sqrt{x_1}\right)^2 &\geqq& 0 \end{eqnarray} ですから式(\ref{x0x12sqrtx0x1})が成り立ち、式(\ref{x0x1div2sqrtx0x1})が示されました。

\(N=4,8,16,\cdots\) の場合

\(N=n\) の時に式(\ref{相加相乗平均})が成り立つと仮定すると、\(n\) 個の相加平均と相乗平均の間には \begin{eqnarray} \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{n-1}}{n} &\geqq& \sqrt[n]{x_0 x_1 \cdots x_{n-1}} \label{first} \end{eqnarray} が成り立ち、同様にその後の \(\underbrace{x_n + x_{n+1} + \cdots + x_{2n-1}}_{n個}\) の相加平均と相乗平均の間にも \begin{eqnarray} \frac{x_n + x_{n+1} + \cdots + x_{2n-1}}{n} &\geqq& \sqrt[n]{x_n x_{n+1} \cdots x_{2n-1}} \label{second} \end{eqnarray} が成り立ちますから、式(\ref{first})と式(\ref{second})を合わせて \begin{eqnarray} \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{n-1}}{n} + \frac{x_n + x_{n+1} + \cdots + x_{2n-1}}{n} &\geqq& \sqrt[n]{x_0 x_1 \cdots x_{n-1}} + \sqrt[n]{x_n x_{n+1} \cdots x_{2n-1}} \label{two} \end{eqnarray} ここで \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} y_0 &=& \sqrt[n]{x_0 x_1 \cdots x_{n-1}} \\ y_1 &=& \sqrt[n]{x_n x_{n+1} \cdots x_{2n-1}} \end{array} \right. \end{eqnarray} と置けば、式(\ref{xx})より、\(y_0, y_1\) に対して以下が成り立ちます。 \begin{eqnarray} y_0 + y_1 &\geqq& 2 \sqrt{y_0 y_1} \end{eqnarray} つまり \begin{eqnarray} \sqrt[n]{x_0 x_1 \cdots x_{n-1}} + \sqrt[n]{x_n x_{n+1} \cdots x_{2n-1}} &\geqq& 2 \sqrt{\sqrt[n]{x_0 x_1 \cdots x_{n-1}} \sqrt[n]{x_n x_{n+1} \cdots x_{2n-1}}} \\ &=& 2 \sqrt{\sqrt[n]{x_0 x_1 \cdots x_{n-1} x_n x_{n+1} \cdots x_{2n-1}}} \\ &=& 2 \sqrt[2n]{x_0 x_1 \cdots x_{2n-1}} \label{root} \end{eqnarray} 式(\ref{two})の左辺をまとめて式(\ref{root})を合わせると \begin{eqnarray} \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{2n-1}}{n} &\geqq& 2 \sqrt[2n]{x_0 x_1 \cdots x_{2n-1}} \end{eqnarray} 両辺を 2 で割れば \begin{eqnarray} \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{2n-1}}{2n} &\geqq& \sqrt[2n]{x_0 x_1 \cdots x_{2n-1}} \end{eqnarray} つまり \(N=n\) で相加相乗平均の不等式(\ref{相加相乗平均})が成り立てば、\(N=2n\) でも相加相乗平均の不等式が成り立つことになります。 \begin{equation} \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{n-1}}{n} \geqq \sqrt[n]{x_0 x_1 \cdots x_{n-1}} \Longrightarrow \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{2n-1}}{2n} \geqq \sqrt[2n]{x_0 x_1 \cdots x_{2n-1}} \label{2n} \end{equation} 前節で \(N=2\) で成り立つことを証明し、本節で \(N=n\) で成り立てば \(N=2n\) でも成り立つことを証明しましたので、数学的帰納法により、すべての \(N=2^k, k=1,2,3,\cdots\) で成り立つことが証明されました。

\(N\neq 2^k\) の場合

\(N\) が \(2^{k-1} \lt N \lt 2^k,\ k\geqq 2\) の範囲内にあるものとし、\(M\) を次式を満たすように定めます。 \begin{equation} N + M = 2^k \end{equation} 以下、式(\ref{相加相乗平均})左辺の相加平均を \begin{equation} a = \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{N-1}}{N} \label{a} \end{equation} と書くことにし、両辺を \(N\) 倍すると \begin{equation} N a = x_0 + x_1 + \cdots + x_{N-1} \label{Np} \end{equation} 式(\ref{Np})を使うと、\(N\) 個の値 \(x_0, x_1, \cdots x_{N-1}\) の後ろに \(M\) 個の \(a\) を並べ、全体で \(N+M=2^k\) 個にしたものの相加平均は、やはり \(a\) になることが判ります。 \begin{eqnarray} \frac{1}{N+M}\left(\underbrace{x_0 + x_1 + \cdots + x_{N-1}}_{N個} + \underbrace{a + a + \cdots + a}_{M個}\right) &=& \frac{1}{N+m}\left(N a + M a\right) \label{xxpp}\\ &=& \frac{1}{N+m}\left(N + M\right)a \\ &=& a \\ \end{eqnarray} 式(\ref{xxpp})の左辺は \(N+M=2^k\) 個の値の相加平均ですから、すでに証明したように相乗平均との間に以下の不等式が成り立ちます。 \begin{eqnarray} a\ =\ \frac{1}{N+M}\left(\underbrace{x_0 + x_1 + \cdots + x_{N-1}}_{N個} + \underbrace{a + a + \cdots + a}_{M個}\right) &\geqq& \sqrt[N+M]{x_0 x_1 \cdots x_{N-1} a^M} \end{eqnarray} 左右辺を \(N+M\) 乗すれば \begin{eqnarray} a^{N+M} &\geqq& x_0 x_1 \cdots x_{N-1} a^M \end{eqnarray} \(a^M\) で割って \begin{eqnarray} a^N &\geqq& x_0 x_1 \cdots x_{N-1} \end{eqnarray} \(N\) 乗根を取って \begin{eqnarray} a &\geqq& \sqrt[N]{x_0 x_1 \cdots x_{N-1}} \end{eqnarray} \(a\) に式(\ref{a})を代入すると \begin{eqnarray} \frac{x_0 + x_1 + \cdots + x_{N-1}}{N} &\geqq& \sqrt[N]{x_0 x_1 \cdots x_{N-1}} \end{eqnarray} よって \(N\neq 2^k\) の場合も証明されました。

トリビア

相加平均は算術平均、相乗平均は幾何平均とも呼ばれますので、非常に紛らわしいのですが、「相加相乗平均」とは別に「算術幾何平均」という 2 変数関数があります。

算術幾何平均 \({\rm AGM}(a,b)\) は、2 つの数 \(a,\ b\) を初期値として \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} a_{n+1} &=& \displaystyle\frac{a_n+b_n}{2} \\ \\ b_{n+1} &=& \sqrt{a_n b_n} \end{array} \right. \end{eqnarray} のように \(a_n, b_n\) の算術平均と幾何平均を繰り返した極限 \begin{eqnarray} {\rm AGM}(a,b)\ =\ \lim_{n\to\infty}a_n\ =\ \lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray} として定義されています。