三角関数の復習
フーリエ解析の基礎となる三角関数
入門（高校数学レベル）
はじめに
フーリエ解析は、複雑な関数を「正弦波（サイン波とコサイン波）」の重ね合わせで表現する技法である。そのため、三角関数の性質をしっかり理解しておくことが不可欠である。
本章では、三角関数の定義、グラフ、そして重要な公式を復習する。
三角関数の定義
単位円による定義
原点を中心とする半径 1 の円（単位円）上の点 $P$ を考える。$x$ 軸の正の方向から反時計回りに角度 $\theta$ だけ回転した位置にある点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると：
$$\cos\theta \triangleq x, \quad \sin\theta \triangleq y$$
また、$\tan\theta$ は次のように定義される：
$$\tan\theta \triangleq \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$$
基本的な値
単位円上の代表的な角度における点の位置を示す：
| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
グラフ
サイン関数 $y = \sin x$
- 周期：$2\pi$
- 振幅：$1$（最大値 $1$、最小値 $-1$）
- 原点を通る奇関数：$\sin(-x) = -\sin x$
コサイン関数 $y = \cos x$
- 周期：$2\pi$
- 振幅：$1$（最大値 $1$、最小値 $-1$）
- $y$ 軸対称な偶関数：$\cos(-x) = \cos x$
サインとコサインの関係
コサイン関数はサイン関数を $\frac{\pi}{2}$ だけ左にずらしたもの：
$$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$$
重要な公式
ピタゴラスの定理から導かれる関係（証明）
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
加法定理（証明）
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$
積和公式（証明）
$$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}$$
$$\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\}$$
$$\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\}$$
直交性（フーリエ解析の核心）
$m, n$ を整数とするとき、区間 $[0, 2\pi]$ での積分について：
$$\int_0^{2\pi} \sin(mx)\cos(nx)\,dx = 0$$
$$\int_0^{2\pi} \sin(mx)\sin(nx)\,dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n \neq 0) \end{cases}$$
$$\int_0^{2\pi} \cos(mx)\cos(nx)\,dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n \neq 0) \\ 2\pi & (m = n = 0) \end{cases}$$
ベクトルの内積が $0$ のとき2つのベクトルが「直交する」というのと同様に、関数の積を積分した値が $0$ になるとき、2つの関数は「直交する」という。この直交性のおかげで、複雑な波の中から特定の周波数成分だけを取り出すことができる。これがフーリエ係数を計算する際の鍵となる。
まとめ
- 三角関数 $\sin$, $\cos$ は単位円上の点の座標として定義される
- $\sin x$ は奇関数、$\cos x$ は偶関数
- 両者とも周期 $2\pi$ を持つ
- 積和公式と直交性がフーリエ解析の基礎となる
次章以降では、振幅・周期・位相の異なる正弦波 $A\sin(k x + \varphi)$ を重ね合わせてさまざまな関数を表現する方法を学ぶ。
よくある質問
Q1: 三角関数の基本的な性質とは何か。
A: $\sin x$ と $\cos x$ は周期 $2\pi$ を持つ周期関数で、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$、$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$（加法定理）などが基本である。フーリエ解析では「すべての周期関数を三角関数の重ね合わせで表す」ことを目指す。
Q2: 三角関数の直交性とはどのようなものか。
A: 区間 $[0, 2\pi]$ 上で $\int_0^{2\pi} \sin(nx)\cos(mx)\,dx = 0$、$\int_0^{2\pi} \sin(nx)\sin(mx)\,dx = \pi\delta_{nm}$（$n,m \geq 1$）が成り立つ。これを三角関数系の直交性といい、フーリエ係数の計算の基礎となる。
Q3: フーリエ解析において三角関数が重要な理由は何か。
A: 三角関数が周期関数の「基底」となるからである。$\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\}$ は $L^2[0,2\pi]$ の完全正規直交系を成し、任意の平方可積分な周期関数をこれらの線形結合で表現（フーリエ展開）できる。