数学

数学に関する解説記事をまとめている。入門から上級まで段階的に解説する。

はじめて体系的に学ぶ方へ

ひとつの目安として、集合論 → 証明 → 関数 → 線形代数 → 微分・積分 の順に読み進められる。もちろん一本道である必要はなく、興味のある分野から読んでも構わない。

数学基礎

集合論

集合と写像の基礎、公理的集合論、ZFC公理系、順序数・基数。

証明

証明の書き方を学ぶ。直接証明、背理法、数学的帰納法など証明の技法。

数理論理学

「証明とは何か」を形式的に。形式体系、証明論、型理論、Curry–Howard 対応、不完全性定理、証明アシスタントの基礎。

関数

関数の基本概念、合成・逆関数、初等関数。

数列・級数

等差・等比数列、漸化式、級数の収束。

計算理論

チューリングマシン、オートマトン、計算可能性、決定不能性、計算複雑性、形式言語。

代数学

代数

高校数学の式と方程式から、群・環・体、ガロア理論、ホモロジー代数まで。

線形代数

ベクトル空間、行列式、固有値・対角化から関数空間まで。

圏論

圏・関手・自然変換、随伴、モナド。

リー代数

リー群とリー代数の基礎から表現論まで。

数論・離散数学

数論

整数論の基礎、素数、合同式、暗号理論への応用。

組合せ論

順列・組合せ、母関数、グラフ彩色、Ramsey理論。

グラフ理論

グラフの基礎、木、ネットワークフロー、マッチング。

幾何学・トポロジー

幾何学

三角比・座標幾何から射影幾何、計算幾何まで。

微分幾何学

曲線・曲面の微分幾何、リーマン幾何学、接続と曲率。

代数幾何学

多項式と図形の対応から、代数多様体・スキームまで。

トポロジー

位相空間、基本群、ホモロジー、応用代数トポロジー。

解析学

微分

微分の基礎から応用まで。極限、導関数、偏微分。

行列微分

行列やベクトルによる微分。機械学習や最適化で広く使われる技法。

積分

不定積分・定積分の基礎から重積分・線積分まで。

実解析

ルベーグ測度と積分、Lp 空間、フーリエ解析の基礎。

複素解析

複素関数論の基礎から等角写像・留数定理まで。

関数解析

バナッハ空間、ヒルベルト空間、作用素論。

微分方程式・最適化

常微分方程式

1階・高階 ODE、解の存在と一意性、力学系。

偏微分方程式

波動・熱・ラプラス方程式、ソボレフ空間。

最適化

凸最適化、ラグランジュ乗数法、数値最適化。

応用解析・変換法

フーリエ解析

フーリエ級数・フーリエ変換の基礎から応用まで。

ラプラス変換

ラプラス変換の定義、逆変換、微分方程式への応用。

Z変換

離散信号の Z 変換、逆変換、差分方程式への応用。

ラドン変換

ラドン変換の理論、CT 画像再構成への応用。

確率・統計

確率論

確率の基礎から確率過程まで。

統計学

記述統計から推測統計、ベイズ統計まで。

計算数学

数式処理と多倍長演算

記号計算（多項式 GCD、因数分解、グレブナー基底、記号積分）と多倍長演算（高速乗算、浮動小数点、根の抽出、定数計算）全29章。

数値解析

補間・近似、数値積分、連立方程式、固有値問題、ODE/PDE の数値解法。

数値解析 特論

区間演算、精度保証付き数値計算、乱数生成。

よくある質問

これらの数学ノートではどんな分野を扱っていますか？

基礎（集合論、証明、関数、数列）、代数（代数、線形代数、圏論、リー代数）、数論・離散数学、幾何学・トポロジー、解析（微分積分、実解析、複素解析、関数解析）、微分方程式、応用解析と変換法（フーリエ・ラプラス・Z 変換・ラドン変換）、確率・統計、計算数学（数式処理、数値解析）まで、数学の幅広い分野を体系的に扱っている。

初心者でも読めますか？

各分野を入門・初級・中級・上級に分けているので、初心者は入門記事から始められる。ただし分野によっては代数幾何や関数解析のように大学院レベルの内容まで扱うので、必要な前提知識に応じて進む形になる。