数列

等差数列・等比数列から $\Sigma$ 記号まで

概要

数列とは、ある規則に従って並んだ数の列である。高校数学では等差数列・等比数列の公式、$\Sigma$ 記号による和の計算を学び、大学数学では収束・発散の概念へと発展する。

$a_1$
$a_2$
$a_3$
$\cdots$
$a_n$
$\cdots$

図1：数列 $\{a_n\}$ — 規則に従って並ぶ数の列

レベル別目次

入門

等差数列、等比数列、$\Sigma$ 記号と公式。高校数学Bレベル。

主要トピック

  • 等差数列：隣り合う項の差が一定の数列
  • 等比数列：隣り合う項の比が一定の数列
  • $\Sigma$ 記号：和を表す記号と基本公式
  • 漸化式：数列を帰納的に定義する式

よくある質問

数列とはどのような数学の対象ですか？

数列は自然数（$n=1,2,3,\ldots$）を添字として並んだ数の列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ です。各 $n$ に値 $a_n$ を対応させる写像 $\mathbb{N}\to\mathbb{R}$（または $\mathbb{C}$）ともいえます。有限数列と無限数列があり、後者では極限・収束・発散が重要な概念になります。

数列の極限と収束とはどういう意味ですか？

$\lim_{n\to\infty} a_n = L$ は「$n$ が大きくなるにつれて $a_n$ が $L$ に限りなく近づく」ことです。厳密には「任意の $\varepsilon>0$ に対してある $N$ が存在し、$n>N$ ならば $|a_n-L|<\varepsilon$」と定義されます。この極限が有限値 $L$ に存在するとき、数列は $L$ に収束するといいます。

数列の学習は大学数学でどのように役立ちますか？

数列の極限は微分・積分の定義（$\varepsilon$-$N$ 論法）の基礎で、数値解析（反復法の収束）、確率論（大数の法則・中心極限定理）、フーリエ解析（フーリエ係数）、複素解析（べき級数の収束域）など数学・工学の広い分野で使われます。