微分
Differential Calculus
微分とは
微分は関数の変化率を調べる数学の分野で、瞬間の速度や最適化問題など、科学・工学のあらゆる分野で使われる重要な概念である。
本シリーズでは、高校数学レベルの入門から大学院レベルの上級まで、4段階で微分を体系的に学ぶ。
レベル別コンテンツ
関連する主な項目
入門で学ぶ基本公式
基本定義
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
べき関数
$$(x^n)' = nx^{n-1}$$
指数・対数
$$(e^x)' = e^x$$
$$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$$
三角関数
$$(\sin x)' = \cos x$$
$$(\cos x)' = -\sin x$$
積の微分
$$(fg)' = f'g + fg'$$
合成関数
$$(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$$
リファレンス
インタラクティブデモ
コラム
前提知識
- 入門：中学数学の基礎、関数の概念
- 初級：入門の内容、線形代数の基礎
- 中級：初級の内容、線形代数（行列・固有値）
- 上級：中級の内容、実解析、線形代数
よくある質問
「微分」のノートはどのような構成になっていますか？
入門（概念的理解）・初級（多変数微分・ODE 入門）・中級（ベクトル解析・曲線と曲面・常微分方程式）・上級（微分形式・PDE・ソボレフ空間・変分法）と段階的に学べる構成です。また行列微積分（matrix calculus）とベクトル解析の専門セクションも設けています。
微分と積分はどのように関係していますか？
微積分学の基本定理より、連続関数 $f$ に対して $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$ が成り立ちます（微分と積分は逆演算）。多変数への拡張ではストークスの定理・発散定理・グリーンの定理が対応し、外微分と境界演算子が互いに双対な演算として統一的に理解されます。
行列微積分（matrix calculus）とは何ですか？
スカラー・ベクトル・行列間の微分を体系化した分野です。$\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}}(\mathbf{x}^T A\mathbf{x})=（A+A^T)\mathbf{x}$ のような行列式を含む微分規則を扱い、深層学習の誤差逆伝播・最適化・制御理論の基礎となっています。