第6章: 積和公式・和積公式
概要
積和公式・和積公式（早見表）
積 → 和
\begin{align*} \sin\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \\ \cos\alpha\sin\beta &= \tfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\} \\ \cos\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\} \\ \sin\alpha\sin\beta &= \tfrac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\} \end{align*}和 → 積
\begin{align*} \sin A + \sin B &= 2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B &= 2\cos\tfrac{A+B}{2}\sin\tfrac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B &= 2\cos\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B &= -2\sin\tfrac{A+B}{2}\sin\tfrac{A-B}{2} \end{align*}積和公式は三角関数の積を和（または差）に変換する公式であり、和積公式は逆に和（または差）を積に変換する公式である。 いずれも 加法定理 から直接導出できる。
これらの公式は積分計算や三角関数の簡約化、フーリエ解析などで頻繁に用いられる。本ページでは導出を段階的に追い、例題 3 題と練習問題 4 題で定着させる。
前提知識：加法定理
加法定理（証明はこちら）
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$以下では、これらの加法定理を出発点として積和公式・和積公式を導出する。
積和公式の導出
積和公式は、加法定理の辺々を足したり引いたりすることで導出できる。
sin α cos β の積和公式
Step 1: 加法定理の2式を用意
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (1)$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (2)$$Step 2: (1) + (2) を計算
$$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$$両辺を2で割ると：
sin α cos β の積和公式
$$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\} \quad \blacksquare$$cos α sin β の積和公式
Step 3: (1) − (2) を計算
$$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\sin\beta$$両辺を2で割ると：
cos α sin β の積和公式
$$\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\} \quad \blacksquare$$cos α cos β の積和公式
Step 4: cos の加法定理の2式を用意
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (3)$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (4)$$Step 5: (3) + (4) を計算
$$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$$両辺を2で割ると：
cos α cos β の積和公式
$$\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\} \quad \blacksquare$$sin α sin β の積和公式
Step 6: (4) − (3) を計算
$$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$$両辺を2で割ると：
sin α sin β の積和公式
$$\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\} \quad \blacksquare$$和積公式の導出
和積公式は積和公式の逆変換であり、変数変換によって導出する。
変数変換
積和公式で $\alpha + \beta = A$、$\alpha - \beta = B$ とおくと：
$$\alpha = \dfrac{A + B}{2}, \quad \beta = \dfrac{A - B}{2}$$sin A + sin B の和積公式
Step 7: sin α cos β の積和公式から
$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}$ より
$$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$$$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$ を代入すると：
sin A + sin B の和積公式
$$\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A + B}{2}\cos\dfrac{A - B}{2} \quad \blacksquare$$sin A − sin B の和積公式
Step 8: cos α sin β の積和公式から
$\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\}$ より
$$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\sin\beta$$$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$ を代入すると：
sin A − sin B の和積公式
$$\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A + B}{2}\sin\dfrac{A - B}{2} \quad \blacksquare$$cos A + cos B の和積公式
Step 9: cos α cos β の積和公式から
$\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\}$ より
$$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$$$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$ を代入すると：
cos A + cos B の和積公式
$$\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A + B}{2}\cos\dfrac{A - B}{2} \quad \blacksquare$$cos A − cos B の和積公式
Step 10: sin α sin β の積和公式から
$\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\}$ より
$$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$$すなわち $\cos A - \cos B = -2\sin\alpha\sin\beta$（$A = \alpha + \beta$、$B = \alpha - \beta$）
cos A − cos B の和積公式
$$\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A + B}{2}\sin\dfrac{A - B}{2} \quad \blacksquare$$例題
例題1: 積和公式による計算
問題
$\sin 75° \cos 15°$ の値を積和公式を用いて求めよ。
Step 1: 積和公式を適用
$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}$ に $\alpha = 75°$, $\beta = 15°$ を代入する。
$$\sin 75° \cos 15° = \dfrac{1}{2}\{\sin(75° + 15°) + \sin(75° - 15°)\}$$Step 2: 角度を計算
$$= \dfrac{1}{2}(\sin 90° + \sin 60°) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$答え
$$\sin 75° \cos 15° = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}$$例題2: 和積公式による変換
問題
$\cos 5\theta + \cos 3\theta$ を和積公式を用いて積の形に変換せよ。
Step 1: 和積公式を適用
$\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$ に $A = 5\theta$, $B = 3\theta$ を代入する。
$$\cos 5\theta + \cos 3\theta = 2\cos\dfrac{5\theta + 3\theta}{2}\cos\dfrac{5\theta - 3\theta}{2}$$答え
$$\cos 5\theta + \cos 3\theta = 2\cos 4\theta \cos \theta$$例題3: 積和公式で値を求める
問題
$\sin 105° \sin 15°$ の値を求めよ。
Step 1: 積和公式で和に変換
$\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\}$ に $\alpha = 105°$, $\beta = 15°$ を代入する。
$$\sin 105° \sin 15° = \dfrac{1}{2}(\cos 90° - \cos 120°)$$Step 2: 既知の値を代入
$\cos 90° = 0$、$\cos 120° = -\dfrac{1}{2}$ より
$$= \dfrac{1}{2}\left(0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$$答え
$$\sin 105° \sin 15° = \dfrac{1}{4}$$練習問題
問題 1
$\cos 75° \cos 15°$ の値を積和公式を用いて求めよ。
ヒント
$\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}$ を使う。$\cos 90° = 0$、$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ であることに注意。
解答例
積和公式に $\alpha = 75°$, $\beta = 15°$ を代入する。
$$\cos 75° \cos 15° = \dfrac{1}{2}(\cos 90° + \cos 60°) = \dfrac{1}{2}\left(0 + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4}$$問題 2
$\sin 7\theta - \sin 3\theta$ を和積公式を用いて積の形に変換せよ。
ヒント
$\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$ を使う。$A = 7\theta$, $B = 3\theta$ とおく。
解答例
和積公式に代入する。
$$\sin 7\theta - \sin 3\theta = 2\cos\dfrac{7\theta + 3\theta}{2}\sin\dfrac{7\theta - 3\theta}{2} = 2\cos 5\theta \sin 2\theta$$問題 3
$\sin 75° \sin 15°$ の値を積和公式を用いて求めよ。
ヒント
$\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\}$ を使う。$\alpha = 75°$, $\beta = 15°$ とおく。
解答例
問題 4
方程式 $\cos 3x + \cos x = 0$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解け。
ヒント
和積公式で左辺を積に変換すると $2\cos 2x \cos x = 0$ となる。積が 0 になる条件から $\cos 2x = 0$ または $\cos x = 0$ を解く。
解答例
和積公式を適用する。
$$\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x \cos x = 0$$$\cos 2x = 0$ のとき：$2x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}$ より $x = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}$
$\cos x = 0$ のとき：$x = \dfrac{\pi}{2}$
したがって
$$x = \dfrac{\pi}{4}, \quad \dfrac{\pi}{2}, \quad \dfrac{3\pi}{4}$$