第2章: リー括弧と交換子

行列の交換子、物理学との関係

行列の交換子

リー括弧の最も基本的な例は、行列の交換子（commutator）である。

定義：行列の交換子

$n \times n$ 行列 $A$, $B$ に対して、その交換子を

$$[A, B] \triangleq AB - BA$$

と定義する。

定理：交換子はリー括弧の公理を満たす

行列の交換子はリー括弧の公理（交代性・ヤコビ恒等式）を満たす。

証明

交代性：$[A, A] = AA - AA = 0$　✓

ヤコビ恒等式：計算により確認する。まず $[A, [B, C]]$ を展開する。

\begin{align*} [A, [B, C]] &= [A, BC - CB] \\ &= A(BC - CB) - (BC - CB)A \\ &= ABC - ACB - BCA + CBA \end{align*}

同様に $[B, [C, A]]$ を展開する。

\begin{align*} [B, [C, A]] &= [B, CA - AC] \\ &= B(CA - AC) - (CA - AC)B \\ &= BCA - BAC - CAB + ACB \end{align*}

同様に $[C, [A, B]]$ を展開する。

\begin{align*} [C, [A, B]] &= [C, AB - BA] \\ &= C(AB - BA) - (AB - BA)C \\ &= CAB - CBA - ABC + BAC \end{align*}

これら3つを足し合わせる。

\begin{align*} &[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] \\ &= (ABC - ACB - BCA + CBA) \\ &\quad + (BCA - BAC - CAB + ACB) \\ &\quad + (CAB - CBA - ABC + BAC) \\ &= ABC - ABC + BCA - BCA + CAB - CAB \\ &\quad - ACB + ACB - BAC + BAC - CBA + CBA \\ &= 0 \end{align*}

各項が正負で打ち消し合い $0$ になる。　□

交換子の意味

交換子 $[A, B] = AB - BA$ は、$A$ と $B$ の「非可換性の度合い」を測る。

  • $[A, B] = 0$ ⟺ $AB = BA$（$A$ と $B$ は可換）
  • $[A, B] \neq 0$ ⟺ $A$ と $B$ は非可換

幾何学的な意味：「往復したときに残るズレ」

$A$, $B$ を「微小変換の生成子」とみなし、パラメータ $t$ で微小変換を $e^{tA} \approx I + tA$ と書くとき、

$$e^{tA} \, e^{tB} \, e^{-tA} \, e^{-tB} = I + t^2 [A, B] + O(t^3)$$

が成り立つ。つまり「$A$ で進む → $B$ で進む → $A$ で戻る → $B$ で戻る」という往復をしたときに、$t^2$ のオーダーで残るズレが交換子 $[A,B]$ である。多様体上のベクトル場 $X, Y$ に対するリー括弧 $[X, Y]$ もこの幾何学的描像で定義され、行列の交換子はその特別な場合にあたる。

交換子が「単なる代数的な式」ではなく、無限小変換どうしの非可換性を測る幾何学的な量であることが、リー代数を物理学・幾何学で使う動機になっている。

例：2×2 行列

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ とする。

$$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$[A, B] = AB - BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$[A, B] \neq 0$ なので、$A$ と $B$ は非可換。

例：対角行列は互いに可換

対角行列同士の積は可換なので、対角行列同士の交換子は常に $0$。

物理学との関係

量子力学では、交換子は非常に重要な役割を果たす。

量子力学における交換関係

位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の間には正準交換関係が成り立つ：

$$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$$

ここで $\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの（ディラック定数）。

この交換関係は不確定性原理の根源であり、量子力学と古典力学の本質的な違いを表している。

角運動量の交換関係

角運動量の成分 $L_x$, $L_y$, $L_z$ の間には

$$[L_x, L_y] = i\hbar L_z, \quad [L_y, L_z] = i\hbar L_x, \quad [L_z, L_x] = i\hbar L_y$$

が成り立つ。これは $\mathfrak{so}(3)$（3次元回転のリー代数）の交換関係に対応する。

ポアソン括弧

古典力学にもリー括弧と同様の構造がある。

相空間とは

古典力学で粒子の運動を完全に記述するには、位置 $q$ と運動量 $p$ の両方が必要である。これらを座標とする空間を相空間（phase space）という。

  • 1次元の粒子：相空間は2次元 $(q, p)$
  • 3次元の粒子：相空間は6次元 $(q_1, q_2, q_3, p_1, p_2, p_3)$

相空間上の関数 $f(q, p)$ とは、位置と運動量を引数に取る関数である。例えばエネルギー $H(q, p) = \dfrac{p^2}{2m} + V(q)$ は相空間上の関数である。

定義：ポアソン括弧

相空間上の関数 $f$, $g$ に対して、ポアソン括弧（Poisson bracket）を

$$\{f, g\} = \displaystyle\sum_i \left( \dfrac{\partial f}{\partial q_i}\dfrac{\partial g}{\partial p_i} - \dfrac{\partial f}{\partial p_i}\dfrac{\partial g}{\partial q_i} \right)$$

と定義する。

ポアソン括弧もリー括弧の公理を満たす。実際、量子化 $\{f, g\} \to \dfrac{1}{i\hbar}[\hat{f}, \hat{g}]$ により、古典的なポアソン括弧は量子力学の交換子に対応する。

交換子の基本性質

命題：交換子の性質

  • 双線形性：$[aA + bB, C] = a[A, C] + b[B, C]$
  • 反交換性：$[A, B] = -[B, A]$
  • ヤコビ恒等式：$[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0$
  • 積の公式：$[A, BC] = [A, B]C + B[A, C]$

証明

双線形性（第1引数について）：

\begin{align*} [aA + bB, C] &= (aA + bB)C - C(aA + bB) \\ &= aAC + bBC - aCA - bCB \\ &= a(AC - CA) + b(BC - CB) \\ &= a[A, C] + b[B, C] \end{align*}

第2引数についても同様。

反交換性：

\begin{align*} [A, B] &= AB - BA \\ &= -(BA - AB) \\ &= -[B, A] \end{align*}

ヤコビ恒等式：上の証明を参照。

積の公式：

\begin{align*} [A, BC] &= A(BC) - (BC)A \\ &= ABC - BCA \end{align*}

一方、

\begin{align*} [A, B]C + B[A, C] &= (AB - BA)C + B(AC - CA) \\ &= ABC - BAC + BAC - BCA \\ &= ABC - BCA \end{align*}

両者は一致する。　□

最後の「積の公式」は、$[A, \cdot]$ が微分（導分）のように振る舞うことを示している。

まとめ

  • 行列の交換子 $[A, B] = AB - BA$ はリー括弧の典型例
  • 交換子は「非可換性の度合い」を測る
  • 量子力学の交換関係はリー代数の構造を持つ
  • ポアソン括弧も同じ代数構造を持ち、量子化により交換子に対応

さらに学びたい人へ

  • 第3章: 行列リー代数 — $\mathfrak{gl}(n)$, $\mathfrak{sl}(n)$, $\mathfrak{so}(n)$, $\mathfrak{u}(n)$ といった具体例で交換子の働きを見る
  • 第4章: 部分代数とイデアル — 交換子を入れて閉じる部分空間 (部分代数) と、より強い性質を持つイデアル
  • 構造定数とヤコビ恒等式の体系的取扱い: Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 第 1-2 章 (標準的な入門書)
  • 物理学への応用 (角運動量・正準交換関係): Sakurai, Modern Quantum Mechanics 第 1-3 章

よくある質問

リー括弧（交換子）とは何ですか？

リー括弧 $[X,Y]$ はリー代数の基本演算です。行列リー代数では交換子 $[A,B]=AB-BA$ がリー括弧に対応します。これは行列の積の「非可換性」を測る量で、$[A,B]=0$ のとき $A$ と $B$ は交換可能（同時対角化可能）です。量子力学では $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$ が位置と運動量の不確定性原理の数学的表現です。

リー括弧の双線形性はどのような意味ですか？

リー括弧 $[X,Y]$ が両引数について線形という意味です：$[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z]$ かつ $[X,aY+bZ]=a[X,Y]+b[X,Z]$（$a,b\in\mathbb{F}$）。これにより基底 $\{e_1,\ldots,e_n\}$ の括弧 $[e_i,e_j]=\sum_k f^k_{ij}e_k$（構造定数 $f^k_{ij}$）を指定すればリー代数全体の括弧が決まります。

構造定数とはどのような量ですか？

リー代数の基底 $\{e_i\}$ に対して $[e_i,e_j]=\sum_k f^k_{ij}e_k$ で定義される定数 $f^k_{ij}$ が構造定数です。反対称性から $f^k_{ij}=-f^k_{ji}$、ヤコビ恒等式から $\sum_l(f^l_{ij}f^m_{lk}+f^l_{jk}f^m_{li}+f^l_{ki}f^m_{lj})=0$ が成り立ちます。$\mathfrak{su}(2)$ の構造定数はレビ＝チビタ記号 $\varepsilon_{ijk}$ です。