アダマール積 (Hadamard Product)
Hadamard Product — Entrywise Matrix Product
中級（大学2年レベル）
公開日: 2026-03-20
定義と基本性質
同じサイズの行列 $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ に対し、アダマール積（Hadamard product, 記号 $\circ$ または $\odot$）は要素ごとの積で定義される：
$$(A \circ B)_{ij} = a_{ij} b_{ij}$$基本性質は以下の通りである：
- 可換性：$A \circ B = B \circ A$
- 結合性：$(A \circ B) \circ C = A \circ (B \circ C)$
- 分配性：$A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C$
- 単位元：全成分が 1 の行列 $J$（$A \circ J = A$）
- 転置：$(A \circ B)^T = A^T \circ B^T$
シューアの積定理
定理（シューアの積定理）： $A, B$ が $n \times n$ 正半定値行列ならば、アダマール積 $A \circ B$ も正半定値である。 さらに $A, B$ がともに正定値ならば $A \circ B$ も正定値である。
証明の概略
$B$ の固有値分解を $B = \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k v_k^T$（$\lambda_k \geq 0$）とする。 任意のベクトル $x$ に対し：
$$x^T(A \circ B)x = \displaystyle\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij} x_i x_j = \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k \displaystyle\sum_{i,j} a_{ij} (v_k)_i (v_k)_j x_i x_j = \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k (x \circ v_k)^T A (x \circ v_k) \geq 0$$ここで $x \circ v_k$ は $x$ と $v_k$ の要素ごとの積 $(x_i (v_k)_i)_{i=1}^n$ である。最後の不等式は各項 $\lambda_k \geq 0$ と $A$ の正半定値性による。
オッペンハイムの不等式
定理（オッペンハイム）： $A, B$ が $n \times n$ 正半定値行列のとき：
$$\det(A \circ B) \geq \det(A) \displaystyle\prod_{i=1}^n b_{ii}$$対称性により $A$ と $B$ の役割を入れ替えた不等式も成り立つ：
$$\det(A \circ B) \geq \det(B) \displaystyle\prod_{i=1}^n a_{ii}$$特に $B$ の対角成分がすべて 1 の相関行列のとき、$\det(A \circ B) \geq \det(A)$ が成り立つ。 この不等式は行列式のアダマール不等式 $\det(A) \leq \displaystyle\prod_i a_{ii}$ の一般化とも見なせる。
通常の行列積との関係
アダマール積と通常の行列積は以下のように関連する：
- 対角行列の場合： $A, B$ がともに対角行列なら $A \circ B = A B$（アダマール積と通常の行列積が一致する稀有な状況）
- ベクトルの場合： $a \circ b$ は対角行列 $\text{diag}(a)$ を用いて $a \circ b = \text{diag}(a) b$ と表せる
- トレースの関係： $\text{tr}(A^T B) = \mathbf{1}^T (A \circ B) \mathbf{1} = \displaystyle\sum_{ij} a_{ij} b_{ij}$（フロベニウス内積）
- クロネッカー積との関係： $A \circ B$ は $(A \otimes B)$ の部分行列（対角ブロック）として得られる
応用
- 統計学：構造化共分散行列（空間相関 $\circ$ 時間相関）
- 機械学習：ゲート機構（LSTM, GRU の要素ごとの積）、注意機構のマスク
- 信号処理：窓関数の適用、スペクトルマスキング
- 画像処理：ピクセルごとのフィルタリング
まとめ
- アダマール積は対応する成分同士の積であり、可換・結合・分配の法則を満たす
- シューアの積定理により、正半定値行列のアダマール積は正半定値性を保存する
- オッペンハイムの不等式は行列式に関する下界を与える
- 機械学習・信号処理など要素ごとの演算が本質的な場面で広く利用される
参考資料
- Hadamard product (matrices) — Wikipedia
- Schur product theorem — Wikipedia
- Horn, R. A. & Johnson, C. R. Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, 2012.