第1章 等差数列

証明

等差数列の定義より、隣り合う項の差は常に $d$ である：

$$a_{k+1} - a_k = d \quad (\text{すべての } k \geq 1)$$

$a_n$ を求めるため、$k = 1, 2, \ldots, n-1$ について上式を書き出す：

\begin{align} a_2 - a_1 &= d \\ a_3 - a_2 &= d \\ a_4 - a_3 &= d \\ &\vdots \\ a_n - a_{n-1} &= d \end{align}

これらを辺々加えると、中間項が消去されて

$$a_n - a_1 = (n-1)d$$

$a_1 = a$ を代入して整理すると

$$a_n = a + (n-1)d \quad \square$$

証明1：逆順加法

$S_n$ を正順と逆順の2通りで書く：

\begin{align} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1 \end{align}

辺々加える。第 $k$ 列の上下の和を見ると、正順の第 $k$ 項 $a_k$ と逆順の第 $k$ 項 $a_{n+1-k}$ が並んでおり、

$$a_k + a_{n+1-k} = \{a + (k-1)d\} + \{a + (n-k)d\} = 2a + (n-1)d = a_1 + a_n = a + l$$

となり $k$ によらず一定の値 $a + l$ になる（両端の和に等しい）。これが $n$ 列あるので

$$2S_n = \underbrace{(a + l) + (a + l) + \cdots + (a + l)}_{n \text{ 個}} = n(a + l)$$

したがって

$$S_n = \dfrac{n(a + l)}{2} \quad \square$$

さらに、末項 $l = a_n = a + (n-1)d$ を代入すると

$$S_n = \dfrac{n\{a + a + (n-1)d\}}{2} = \dfrac{n\{2a + (n-1)d\}}{2} \quad \square$$

と、初項 $a$・公差 $d$・項数 $n$ だけを用いた形にも書ける。

証明2：図形的解釈（台形の面積）

各項 $a_k$ を幅 $1$・高さ $a_k$ の縦棒として並べると、棒 1 本の面積は $a_k$ に等しいので、棒グラフ全体の面積は

$$\text{階段の面積} = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = S_n$$

となる。等差数列の場合、高さは $a$ から $l$ まで等間隔に増えるため、この階段は台形状になる。この図形をもう 1 つ上下反転させて重ねると、高さがどの位置でも一定 $a + l$ の長方形ができる：

証明

$a, b, c$ が等差数列であるとき、公差を $d$ とすると

$$b - a = d, \quad c - b = d$$

よって $b - a = c - b$ であり、これを整理すると

$$2b = a + c \quad \Leftrightarrow \quad b = \dfrac{a + c}{2} \quad \square$$