第13章 陰関数微分

入門

13.1 陽関数と陰関数

陽関数と陰関数

陽関数：$y = f(x)$ の形で表される関数

例：$y = x^2 + 3x$, $y = \sin x$

陰関数：$F(x, y) = 0$ の形で表される関係

例：$x^2 + y^2 = 1$（円）, $x^2 + xy + y^2 = 3$

陰関数は必ずしも $y = f(x)$ の形に解けるとは限らない。それでも、$y$ を $x$ の関数とみなして両辺を微分すれば、$\dfrac{dy}{dx}$ を求められる。ただし、最後に割る式が $0$ になる点では、その式は使えない。

陽関数と陰関数の例 陽関数 陰関数
$y = x^2$
各 $x$ に対して $y$ が 1 つに決まる
$x^2 + y^2 = 1$
円では 1 つの $x$ に 2 つの $y$ が対応する
円の上半分だけなら $y = \sqrt{1 - x^2}$ と表せる
図1: 陽関数 $y = x^2$（左）と陰関数 $x^2 + y^2 = 1$（右）。円では、例えば $x = \dfrac{1}{2}$ に $y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の 2 つが対応する（灰色の破線）。

13.2 陰関数微分の方法

陰関数微分の手順
  1. 方程式 $F(x, y) = 0$ の両辺を $x$ で微分する
  2. $y$ は $x$ の関数とみなし、連鎖律を適用する（$\dfrac{dy}{dx}$ が現れる）
  3. $\dfrac{dy}{dx}$ について解く
例1：円 $x^2 + y^2 = 1$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

左辺：$\dfrac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \dfrac{d}{dx}x^2 + \dfrac{d}{dx}y^2$

$y^2$ を微分するとき、$y$ は $x$ の関数なので連鎖律を使う：

$$\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y \cdot \dfrac{dy}{dx}$$

右辺：$\dfrac{d}{dx}1 = 0$

Step 2：方程式を書き下す。

$$2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Step 3：$\dfrac{dy}{dx}$ について解く。

$$2y \dfrac{dy}{dx} = -2x$$ $$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$$

ただし、これは $y \ne 0$ のときである。$y = 0$ となる点 $(\pm 1, 0)$ では割り算ができず、接線は垂直になる（図2）。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線
$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
傾き $-1$
$(1, 0)$
垂直（傾きは定義されない）
$(0, 1)$
水平（傾き $0$）
$y \ne 0$ の点では、傾きは $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
図2: 円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線。点 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ では傾き $-\dfrac{x}{y} = -1$、点 $(0, 1)$ では傾き $0$（水平）。点 $(1, 0)$ では $y = 0$ なので式は使えず、接線は垂直になる。
例2：$x^2 + xy + y^2 = 7$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

$xy$ の微分には積の公式を使う：

$$\dfrac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \dfrac{dy}{dx} = y + x\dfrac{dy}{dx}$$

よって：

$$2x + \left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$$

Step 2：整理する。

$$2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$$ $$x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = -2x - y$$ $$(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$$

Step 3：$\dfrac{dy}{dx}$ について解く。

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$$

ただし、これは $x + 2y \ne 0$ のときである。$x + 2y = 0$ となる点では、接線は垂直になる。

13.3 陰関数微分の応用

例3：楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

$$\dfrac{2x}{a^2} + \dfrac{2y}{b^2} \cdot \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Step 2：$\dfrac{dy}{dx}$ について解く。

$$\dfrac{2y}{b^2} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x}{a^2}$$ $$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{b^2 x}{a^2 y}$$

ただし、これは $y \ne 0$ のときである。$y = 0$ となる点 $(\pm a, 0)$ では、接線は垂直になる。

例4：$e^{xy} = x + y$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

左辺：$e^{xy}$ について、$xy$ を微分すると $y + x\dfrac{dy}{dx}$ なので：

$$\dfrac{d}{dx}e^{xy} = e^{xy}\left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right)$$

右辺：

$$\dfrac{d}{dx}(x + y) = 1 + \dfrac{dy}{dx}$$

Step 2：方程式を立てる。

$$e^{xy}\left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) = 1 + \dfrac{dy}{dx}$$

Step 3：展開して整理する。

$$ye^{xy} + xe^{xy}\dfrac{dy}{dx} = 1 + \dfrac{dy}{dx}$$ $$xe^{xy}\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{dy}{dx} = 1 - ye^{xy}$$ $$(xe^{xy} - 1)\dfrac{dy}{dx} = 1 - ye^{xy}$$

Step 4：$\dfrac{dy}{dx}$ について解く。

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - ye^{xy}}{xe^{xy} - 1}$$

ただし、これは $xe^{xy} - 1 \ne 0$ のときである。

例5：$\sin(x + y) = y^2 \cos x$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

左辺：

$$\dfrac{d}{dx}\sin(x + y) = \cos(x + y) \cdot \left(1 + \dfrac{dy}{dx}\right)$$

右辺（積の公式）：

$$\dfrac{d}{dx}(y^2 \cos x) = 2y\dfrac{dy}{dx} \cos x + y^2(-\sin x)$$

Step 2：方程式を立てる。

$$\cos(x+y)\left(1 + \dfrac{dy}{dx}\right) = 2y\dfrac{dy}{dx}\cos x - y^2\sin x$$

Step 3：展開して整理する。

$$\cos(x+y) + \cos(x+y)\dfrac{dy}{dx} = 2y\cos x \dfrac{dy}{dx} - y^2\sin x$$ $$\cos(x+y)\dfrac{dy}{dx} - 2y\cos x \dfrac{dy}{dx} = -y^2\sin x - \cos(x+y)$$ $$[\cos(x+y) - 2y\cos x]\dfrac{dy}{dx} = -y^2\sin x - \cos(x+y)$$

Step 4：$\dfrac{dy}{dx}$ について解く。

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-y^2\sin x - \cos(x+y)}{\cos(x+y) - 2y\cos x}$$

ただし、これは $\cos(x+y) - 2y\cos x \ne 0$ のときである。

13.4 陰関数の二階微分

陰関数の二階微分も求めることができる。

例：円 $x^2 + y^2 = r^2$ の二階微分

一階微分は（$y \ne 0$ のとき）：

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$$

これをさらに $x$ で微分する。商の公式を使う：

$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{x}{y}\right) = -\dfrac{1 \cdot y - x \cdot \dfrac{dy}{dx}}{y^2}$$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ を代入する：

$$= -\dfrac{y - x \cdot \left(-\dfrac{x}{y}\right)}{y^2} = -\dfrac{y + \dfrac{x^2}{y}}{y^2}$$

通分する：

$$= -\dfrac{\dfrac{y^2 + x^2}{y}}{y^2} = -\dfrac{y^2 + x^2}{y^3}$$

$x^2 + y^2 = r^2$ より：

$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{r^2}{y^3}$$

この式も $y \ne 0$ のときに限る。

13.5 陰関数微分のまとめ

陰関数微分の手順 Step 1 Step 2 Step 3 ポイント
両辺を $x$ で微分
$y'$ を含む式を整理
$y'$ について解く
・$y$ を $x$ の関数とみなす（$y = y(x)$）
・$y^2$ の微分 → $2y \cdot y'$、$xy$ の微分 → $y + x \cdot y'$
・最後に割る式が $0$ になる点では、その式は使えない
図3: 陰関数微分の手順。$y$ を $x$ の関数とみなして両辺を微分し、$y' = \dfrac{dy}{dx}$ について解く。

よくある質問

陰関数微分法はどんなときに使うか

$y$ を $x$ の陽関数として解けない（または解くのが複雑な）方程式、例えば $x^2 + y^2 = r^2$（円）や $x^3 + y^3 = 3xy$ を微分するときに使う。両辺を $x$ で微分して $\dfrac{dy}{dx}$ を求める。

陰関数微分で $y^2$ を $x$ で微分するとどうなるか

$y$ は $x$ の関数として扱うため、連鎖律より $\dfrac{d(y^2)}{dx} = 2y \cdot \dfrac{dy}{dx}$ となる。$y$ を含む項を微分するたびに $\dfrac{dy}{dx}$ が掛かる点が陰関数微分の重要なポイントである。

陰関数微分と陽関数微分の結果は一致するか

はい。例えば $x^2 + y^2 = 1$ では陰関数微分で $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ が得られる。円の上半分（$y \gt 0$）を $y = \sqrt{1-x^2}$ として陽関数微分した $-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -\dfrac{x}{y}$ と一致する（下半分は $y = -\sqrt{1-x^2}$ で同じように確かめられる）。

練習問題

練習1

次の陰関数について $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

  1. $x^3 + y^3 = 6xy$
  2. $xy + y^2 = 1$
  3. $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$
練習2

楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ について：

  1. $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
  2. 点 $(0, 2)$ における接線の方程式を求めよ。
練習3

$x^2 + y^2 = 25$ について、点 $(3, 4)$ における接線の方程式を求めよ。

解答を見る

練習1の解答

  1. $3x^2 + 3y^2\dfrac{dy}{dx} = 6y + 6x\dfrac{dy}{dx}$
    $(3y^2 - 6x)\dfrac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$
    $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$（$y^2 - 2x \ne 0$ のとき）
  2. $y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$
    $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -y$
    $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + 2y}$（$x + 2y \ne 0$ のとき）
  3. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2\sqrt{y}}\dfrac{dy}{dx} = 0$
    $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = -\sqrt{\dfrac{y}{x}}$（$x \gt 0$, $y \gt 0$ のとき）

練習2の解答

  1. $\dfrac{2x}{9} + \dfrac{2y}{4}\dfrac{dy}{dx} = 0$
    $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x}{9y}$（$y \ne 0$ のとき）
  2. 点 $(0, 2)$ では $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4 \cdot 0}{9 \cdot 2} = 0$
    接線は水平：$y = 2$

練習3の解答

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ より、点 $(3, 4)$ での傾き：$-\dfrac{3}{4}$

接線：$y - 4 = -\dfrac{3}{4}(x - 3)$

整理：$y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{4} + 4 = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{4}$

または：$3x + 4y = 25$