実対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する
概要
何かとお世話になる有り難い性質、「実対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する」を証明致します。
証明
実対称行列 $\boldsymbol{A}$ の 2 つの異なる固有値を $\lambda_1,\ \lambda_2$、それに対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{x}_1,\ \boldsymbol{x}_2$ とする。 \begin{equation} \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_1 = \lambda_1 \boldsymbol{x}_1 \label{Ax1lx1} \end{equation} \begin{equation} \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_2 = \lambda_2 \boldsymbol{x}_2 \label{Ax2lx2} \end{equation} $\boldsymbol{A}$ は実対称行列だから、$\lambda_1,\ \lambda_2\in\mathbb{R}$ である。
式(\ref{Ax1lx1}) より
式(\ref{Ax1lx1}) をエルミート転置すると \begin{eqnarray} \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{A}^H &=& \lambda_1^H \boldsymbol{x}_1^H \\ && \lambda_1\in\mathbb{R}\ だから\ \lambda_1^H=\lambda_1 \nonumber\\ &=& \lambda_1 \boldsymbol{x}_1^H \end{eqnarray} 両辺の右から $\boldsymbol{x}_2$ を掛けて \begin{equation} \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{A}^H \boldsymbol{x}_2 = \lambda_1 \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 \end{equation} $\boldsymbol{A}$ は実対称行列だから $\boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{A}$ なので \begin{equation} \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_2 = \lambda_1 \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 \label{L1} \end{equation}
式(\ref{Ax2lx2}) より
式(\ref{Ax2lx2}) 両辺の左から $\boldsymbol{x}_1^H$ を掛けて \begin{equation} \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_2 = \lambda_2 \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 \label{L2} \end{equation}
式(\ref{L1}) と 式(\ref{L2}) を比較すると
式(\ref{L1})、式(\ref{L2}) の左辺は同一だから、両者の右辺も等しくなければならない。 \begin{equation} \lambda_1 \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 = \lambda_2 \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 \end{equation} 移項して \begin{equation} (\lambda_1-\lambda_2) \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 = 0 \end{equation} $\lambda_1, \lambda_2$ は異なる前提だから $\lambda_1-\lambda_2\neq 0$ なので \begin{equation} \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 = 0 \label{xTx} \end{equation} でなければならない。 式(\ref{xTx})左辺は内積そのものであり、それが 0 なのだから、固有ベクトル $\boldsymbol{x}_1,\ \boldsymbol{x}_2$ は直交している。
計算例
実対称行列 \begin{equation} \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{array} \right) \end{equation} の固有値は $\lambda_1=6,\ \lambda_2=4$、それぞれに対応する固有ベクトルは $\boldsymbol{x}_1=(1, 1)^T, \boldsymbol{x}_2=(-1, 1)^T$ であり、両者の内積は \begin{equation} \boldsymbol{x}_1^H \boldsymbol{x}_2 = 1\cdot(-1)+1\cdot 1 = 0 \end{equation} で、確かに直交しています。
固有ベクトル $\boldsymbol{x}_1$ と $\boldsymbol{x}_2$ は直交している
参考
複素行列では、エルミート行列 $(a_{ij})=(a_{ji}^*)$ の場合に、異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交します。