実対称行列の固有値はすべて実数である
概要
何かとお世話になる有り難い性質、「実対称行列の固有値はすべて実数である」を証明致します。
証明
実対称行列 \(\boldsymbol{A}\) の、ひとつの固有値を \(\lambda\)、それに対応する固有ベクトルを \(\boldsymbol{x}\) とする。 \begin{equation} \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0} \label{Axlx} \end{equation} エルミート転置 \(\boldsymbol{x}^H=(\boldsymbol{x}^T)^*\) を用いて、複素ベクトルの内積を \((\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \triangleq \boldsymbol{x}^H \boldsymbol{y}\) と定義すると、式(\ref{Axlx})より \begin{equation} (\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) = (\lambda\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) = (\lambda\boldsymbol{x})^H \boldsymbol{x} = \lambda^* \boldsymbol{x}^H \boldsymbol{x} = \lambda^* |\boldsymbol{x}|^2 \label{Axx} \end{equation} 及び \begin{equation} (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}) = (\boldsymbol{x}, \lambda\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^H (\lambda\boldsymbol{x}) = \lambda \boldsymbol{x}^H \boldsymbol{x} = \lambda |\boldsymbol{x}|^2 \label{xAx} \end{equation} が成り立つ一方、 \begin{eqnarray} (\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}) &=& (\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})^H \boldsymbol{x} \\ &=& \boldsymbol{x}^H \boldsymbol{A}^H \boldsymbol{x} \\ & & \boldsymbol{A} を実対称行列と仮定しているので \boldsymbol{A}^H = \boldsymbol{A} \nonumber\\ &=& \boldsymbol{x}^H \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \\ &=& \boldsymbol{x}^H (\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}) \\ &=& (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}) \end{eqnarray} であるから、式(\ref{Axx})と式(\ref{xAx})は等しくなければならず、 \begin{equation} \lambda^* |\boldsymbol{x}|^2 = \lambda |\boldsymbol{x}|^2 \end{equation} \(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\) であることから \(|\boldsymbol{x}|^2\neq 0\) なので、次式が導かれる。 \begin{equation} \lambda = \lambda^* \end{equation} これは固有値 \(\lambda\) が実数であることを意味しており、\(\lambda\) には実対称行列 \(\boldsymbol{A}\) の固有値であること以外に何の限定もしなかったので、行列 \(\boldsymbol{A}\) のすべての固有値が実数であると言うことができる。
計算例
実対称行列 \begin{equation} \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cccc} 2 & 6 & 7 & 7 \\ 6 & 2 & 5 & 5 \\ 7 & 5 & 6 & 16 \\ 7 & 5 & 16 & 8 \\ \end{array} \right) \end{equation} の固有値を計算すると \(\lambda_1=29.7615,\ \lambda_2=-9.04386,\ \lambda_3=-4.25454,\ \lambda_4=1.53692\) であり、確かに全て実数です。