第5章 基本的な微分
Basic Derivatives
入門
5.1 べき乗関数の微分
最も基本的で重要な微分公式は、べき乗関数の微分である。
$n$ を正の整数とするとき：
$$\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$$微分の定義から始める：
$$\dfrac{d}{dx}x^n = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^n - x^n}{h}$$Step 1：二項定理を使って $(x+h)^n$ を展開する。
二項定理より：
$$(x+h)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^k$$ $$= \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + \binom{n}{n}h^n$$ $$= x^n + nx^{n-1}h + \dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$$Step 2：$x^n$ を引く。
$$(x+h)^n - x^n = nx^{n-1}h + \dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$$Step 3：$h$ で割る。
$$\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1} + \dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}$$Step 4：$h \to 0$ の極限をとる。
$h$ を含む項はすべて $0$ に収束するので：
$$\lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1}$$具体例
公式より：
$$f'(x) = 2x^{2-1} = 2x$$公式より：
$$f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$$公式より：
$$f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4$$5.2 定数倍と和の微分
$c$ を定数、$f(x)$ を微分可能な関数とするとき：
$$\dfrac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)$$微分の定義より：
$$\dfrac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = \lim_{h \to 0} \dfrac{c \cdot f(x+h) - c \cdot f(x)}{h}$$$c$ を括り出す：
$$= \lim_{h \to 0} c \cdot \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$$定数は極限の外に出せる：
$$= c \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$$これは $f'(x)$ の定義そのものなので：
$$= c \cdot f'(x)$$$f(x)$, $g(x)$ が微分可能なとき：
$$\dfrac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$微分の定義より：
$$\dfrac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \lim_{h \to 0} \dfrac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h}$$項を整理する：
$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{[f(x+h) - f(x)] + [g(x+h) - g(x)]}{h}$$和を分ける：
$$= \lim_{h \to 0} \left[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} + \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \right]$$極限は和に分配できる：
$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h}$$定義より：
$$= f'(x) + g'(x)$$定数倍と和の規則を使う：
$$f'(x) = \dfrac{d}{dx}(3x^2) + \dfrac{d}{dx}(5x)$$ $$= 3 \cdot \dfrac{d}{dx}(x^2) + 5 \cdot \dfrac{d}{dx}(x)$$ $$= 3 \cdot 2x + 5 \cdot 1$$ $$= 6x + 5$$5.3 多項式の微分
これまでの規則を組み合わせると、任意の多項式を微分できる。
多項式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ の導関数は：
$$f'(x) = na_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$$和の微分と定数倍の微分を繰り返し適用する：
$$f'(x) = \dfrac{d}{dx}(a_n x^n) + \dfrac{d}{dx}(a_{n-1} x^{n-1}) + \cdots + \dfrac{d}{dx}(a_1 x) + \dfrac{d}{dx}(a_0)$$各項について定数倍の規則を適用：
$$= a_n \dfrac{d}{dx}(x^n) + a_{n-1} \dfrac{d}{dx}(x^{n-1}) + \cdots + a_1 \dfrac{d}{dx}(x) + 0$$べき乗の微分公式を適用：
$$= a_n \cdot nx^{n-1} + a_{n-1} \cdot (n-1)x^{n-2} + \cdots + a_1 \cdot 1$$整理すると：
$$= na_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$$Step 1：各項を微分する。
$$f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^4) - \dfrac{d}{dx}(2x^3) + \dfrac{d}{dx}(3x^2) - \dfrac{d}{dx}(x) + \dfrac{d}{dx}(7)$$Step 2：べき乗の公式と定数の微分を適用する。
$$= 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 1 + 0$$Step 3：計算を完了する。
$$= 4x^3 - 6x^2 + 6x - 1$$まず展開してから微分する方法：
Step 1：展開する。
$$f(x) = (x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$$Step 2：多項式として微分する。
$$f'(x) = 2x - 1$$5.4 負のべき乗の微分
べき乗の公式は、負の整数でも成り立つ。
$n$ を正の整数とするとき（$x \neq 0$ で）：
$$\dfrac{d}{dx}x^{-n} = -nx^{-n-1}$$すなわち：
$$\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x^n} = \dfrac{-n}{x^{n+1}}$$$f(x) = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ について、微分の定義より：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{(x+h)^n} - \dfrac{1}{x^n}}{h}$$Step 1：分子を通分する。
$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \cdot \dfrac{x^n - (x+h)^n}{(x+h)^n \cdot x^n}$$Step 2：分子の $(x+h)^n$ を二項定理で展開する。
$$(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \text{（$h^2$以上の項）}$$したがって：
$$x^n - (x+h)^n = -nx^{n-1}h - \text{（$h^2$以上の項）}$$Step 3：代入して $h$ で割る。
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-nx^{n-1}h - (\text{$h^2$以上の項})}{h \cdot (x+h)^n \cdot x^n}$$ $$= \lim_{h \to 0} \dfrac{-nx^{n-1} - (\text{$h$以上の項})}{(x+h)^n \cdot x^n}$$Step 4：$h \to 0$ の極限をとる。
$$= \dfrac{-nx^{n-1}}{x^n \cdot x^n} = \dfrac{-nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{n-1-2n} = -nx^{-n-1}$$$f(x) = x^{-1}$ と書き直して：
$$f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$$$f(x) = x^{-3}$ と書き直して：
$$f'(x) = -3 \cdot x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$$$f(x) = 2x^{-2} + 3x^{-1}$ と書き直して：
$$f'(x) = 2 \cdot (-2)x^{-3} + 3 \cdot (-1)x^{-2}$$ $$= -4x^{-3} - 3x^{-2}$$ $$= -\dfrac{4}{x^3} - \dfrac{3}{x^2}$$5.5 べき乗の公式の一般化
べき乗の微分公式は、実数のべき乗にも拡張できる。
任意の実数 $\alpha$ に対して（$x > 0$ のとき）：
$$\dfrac{d}{dx}x^\alpha = \alpha x^{\alpha - 1}$$この公式は、$x^\alpha=e^{\alpha\log x}$ と合成関数の微分を使って導くこともできる（$x>0$）。詳しい証明は後の章で扱う。ここでは公式として使う。
$\sqrt{x} = x^{1/2}$ なので：
$$f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ なので：
$$f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \dfrac{1}{3}x^{-2/3} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$5.6 基本公式のまとめ
| 関数 $f(x)$ | 導関数 $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$（定数） | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ | $-nx^{-n-1} = -\dfrac{n}{x^{n+1}}$ |
| $\sqrt{x} = x^{1/2}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $c \cdot f(x)$ | $c \cdot f'(x)$ |
| $f(x) + g(x)$ | $f'(x) + g'(x)$ |
よくある質問
べき乗の微分公式 $(x^n)' = nx^{n-1}$ はなぜ成り立つのか
二項定理を使って $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \text{（$h^2$ 以上の項）}$ と展開する。これから $x^n$ を引いて $h$ で割り、$h \to 0$ の極限をとると $h$ を含む全ての項が $0$ になり $nx^{n-1}$ だけ残る。
$\sqrt{x}$ を微分するとき $x > 0$ の条件が必要なのはなぜか
$\sqrt{x}$ は $x < 0$ では実数値をとらず定義されない。また $x=0$ では、右側から近づけたときの平均変化率 $\dfrac{\sqrt{h}-0}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$（$h>0$）が、$h$ を $0$ に近づけると限りなく大きくなる。そのため $x=0$ での微分係数は存在せず、微分できない。$x > 0$ でのみ $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ が有限の値として存在する。
定数の微分がなぜ $0$ になるのか
定数関数 $f(x) = c$ はどんな $x$ でも値が $c$ で一定なので変化の速さがない。定義式 $\lim_{h \to 0}\dfrac{c - c}{h} = 0$ から確認でき、「変化しないものの変化率は $0$」という直観と一致する。
練習問題
次の関数を微分せよ。
- $f(x) = x^6$
- $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$
- $f(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 1$
- $f(x) = \dfrac{5}{x^2}$
次の関数を微分せよ。
- $f(x) = \sqrt{x}$
- $f(x) = x^{3/2}$
- $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
$f(x) = x^2 + 2x - 3$ について：
- $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(1)$ の値を求めよ。
- $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。
解答を見る
練習1の解答
- $f'(x) = 6x^5$
- $f'(x) = 12x^2 - 2$
- $f'(x) = 4x^3 + 9x^2 - 4x + 1$
- $f(x) = 5x^{-2}$ より $f'(x) = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3}$
練習2の解答
- $f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
- $f'(x) = \dfrac{3}{2}x^{1/2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$
- $f(x) = x^{-1/2}$ より $f'(x) = -\dfrac{1}{2}x^{-3/2} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$
練習3の解答
- $f'(x) = 2x + 2$
- $f'(1) = 2(1) + 2 = 4$
- $f(1) = 1 + 2 - 3 = 0$ なので、点 $(1, 0)$ を通り傾き $4$ の直線： $$y - 0 = 4(x - 1)$$ $$y = 4x - 4$$