第6章微分の意味

Q: f'(x) = 0 であれば必ず極値になるか

いいえ。f(x) = x^3 では f'(0) = 0 であるが x = 0 は変曲点であり極値ではない。f'(x) = 0 は極値の必要条件であるが十分条件ではなく、f'(x) の前後の符号変化（正→負なら極大、負→正なら極小）を確認する必要がある。

Q: 線形近似の精度はどう評価するか

線形近似 f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h の誤差は、h で割っても 0 に近づく（h より速く小さくなる）。f'' が存在するとき、誤差はおよそ (1/2)f''(a)h^2 である。h が小さいほど精度が高く、√4.1 の近似（h = 0.1）では誤差が約 0.00015 と非常に小さくなる。

Meaning of Derivative

入門

6.1 微分が表すもの：変化の速さ

微分とは、関数の「瞬間的な変化の速さ」を表す量である。この章では、微分の意味を様々な観点から深く理解する。

微分の本質

$f'(x)$ は、$x$ における $f(x)$ の瞬間変化率を表す。

$f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ はそこで増加している
$f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ はそこで減少している
$f'(x) = 0$ ならば、そこで接線は水平（その瞬間の変化の速さが $0$）

$x$

$y$

$f'(x) \lt 0$

減少

$f'(x) \gt 0$

増加

$f'(0) = 0$（接線が水平）

$y = x^2$

図1: $f(x) = x^2$ のグラフと 3 つの点での接線。$x = -1.2$ では接線が右下がり（$f'(-1.2) = -2.4 \lt 0$）で $f$ は減少、$x = 1.2$ では右上がり（$f'(1.2) = 2.4 \gt 0$）で増加している。$x = 0$ では接線が水平（$f'(0) = 0$）になり、ここで減少から増加に変わる。

6.2 速度と微分

物理学において、微分の最も基本的な応用は「速度」である。

速度の定義

位置 $x(t)$ が時刻 $t$ の関数として与えられるとき：

平均速度：$\displaystyle \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$（時間区間 $[t_1, t_2]$ での）
瞬間速度：$\displaystyle v(t) = \dfrac{dx}{dt} = x'(t)$

$1$

$2$

$t$

$x$

$0.5$

$4.9$

傾き $= \dfrac{4.9}{0.5} = 9.8$

位置 $x(t) = 4.9t^2$

微分

$1$

$2$

$t$

$v$

$9.8$

$v(1) = 9.8$

速度 $v(t) = x'(t) = 9.8t$

左のグラフの接線の傾き＝右のグラフの高さ

図2: 自由落下（$g = 9.8$）の落下距離 $x(t) = 4.9t^2$ [m]（左）と速度 $v(t) = 9.8t$ [m/s]（右）、$0 \le t \le 2$。左の $t = 1$ での接線の傾き $9.8$ が、右の $t = 1$ での高さ $v(1) = 9.8$ に等しい。

例：落下運動

静かに手を離した物体が、$t$ 秒間に落ちる距離（下向きを正とする）は：

$$x(t) = \dfrac{1}{2}gt^2$$

ここで $g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$ は重力加速度である。

速度を求める

$$v(t) = \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}gt^2\right) = \dfrac{1}{2}g \cdot 2t = gt$$

解釈

$t = 0$ のとき：$v(0) = 0$（静止状態から落下開始）
$t = 1$ 秒のとき：$v(1) = 9.8$ m/s
$t = 2$ 秒のとき：$v(2) = 19.6$ m/s

速度は時間に比例して増加する。

6.3 加速度と二階微分

速度の変化率が「加速度」である。これは位置の二階微分になる。

加速度の定義

速度 $v(t) = x'(t)$ が与えられたとき：

$$\text{加速度} = a(t) = \dfrac{dv}{dt} = v'(t) = x''(t)$$

$t$

位置 $x(t) = \tfrac{1}{2}gt^2$

$\dfrac{d}{dt}$

$t$

速度 $v(t) = gt$

$\dfrac{d}{dt}$

$t$

加速度 $a(t) = g$（一定）

$x(t) \;\xrightarrow{\ d/dt\ }\; x'(t) = v(t) \;\xrightarrow{\ d/dt\ }\; x''(t) = v'(t) = a(t)$

位置を 2 回微分すると加速度になる

図3: 自由落下の位置・速度・加速度（$0 \le t \le 2$）。位置 $x(t) = \frac{1}{2}gt^2$ を $t$ で 1 回微分すると速度 $v(t) = gt$、もう 1 回微分すると加速度 $a(t) = g$（一定）になる。3 つのグラフの縦軸は同じ目盛り（$0$〜$20$）。

例：等加速度運動

位置が $x(t) = 3t^2 + 2t + 1$ で与えられるとき：

速度

$$v(t) = x'(t) = \dfrac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 1) = 6t + 2$$

加速度

$$a(t) = v'(t) = x''(t) = \dfrac{d}{dt}(6t + 2) = 6$$

解釈

加速度は $6$ で一定（等加速度運動）
初速度は $v(0) = 2$
初期位置は $x(0) = 1$

6.4 増減と極値

微分を使うと、関数がどこで増加し、どこで減少するかを調べることができる。

増減の判定

ある区間で $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で単調増加。

ある区間で $f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で単調減少。

極大・極小の見つけ方

極大：$f'(a) = 0$ で、$x = a$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるとき、$f$ は $x = a$ で極大になる

極小：$f'(a) = 0$ で、$x = a$ の前後で $f'(x)$ の符号が負から正に変わるとき、$f$ は $x = a$ で極小になる

極大・極小の正確な定義や、$f'$ が存在しない点の扱いは第15章で学ぶ。

$x$

$y$

$-1$

$1$

極大 $(-1,\ 2)$

$f'(-1) = 0$

$f'(1) = 0$

極小 $(1,\ -2)$

増加 ↗

減少 ↘

増加 ↗

$y = x^3 - 3x$

図4: 例の関数 $f(x) = x^3 - 3x$ のグラフ。$x = -1$ で極大値 $2$、$x = 1$ で極小値 $-2$ をとり、どちらの点でも接線は水平（$f'(x) = 0$）である。その左右で $f'(x)$ の符号が変わる。

例：$f(x) = x^3 - 3x$ の増減

Step 1：導関数を求める。

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)$$

Step 2：$f'(x) = 0$ となる点を求める。

$$3(x+1)(x-1) = 0$$ $$x = -1 \text{ または } x = 1$$

Step 3：各区間での符号を調べる。

$x$	$x < -1$	$x = -1$	$-1 < x < 1$	$x = 1$	$x > 1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	極大	↘	極小	↗

Step 4：極値を計算する。

極大値：$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$
極小値：$f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

6.5 接線の方程式

微分を使うと、曲線上の任意の点における接線の方程式を求めることができる。

接線の方程式

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式は：

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

または

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

導出

接線は点 $(a, f(a))$ を通り、傾き $f'(a)$ の直線である。

点 $(x_0, y_0)$ を通り傾き $m$ の直線の方程式は：

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

これに $x_0 = a$, $y_0 = f(a)$, $m = f'(a)$ を代入すると：

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

$x$

$y$

$1$

$f'(2) = 4$

$(2,\ 4)$

$2$

$1$

$y = x^2$

接線 $y = 4x - 4$

図5: $y = x^2$ の点 $(2,\ 4)$ における接線 $y = 4x - 4$（下の例）。接線上では $x$ が $1$ 増えると $y$ が $f'(2) = 4$ 増える。接線は $x$ 軸と $x = 1$ で交わる。

例：$f(x) = x^2$ の $x = 2$ における接線

Step 1：導関数を求める。

$$f'(x) = 2x$$

Step 2：$x = 2$ での値を計算する。

$$f(2) = 2^2 = 4$$ $$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Step 3：接線の方程式を作る。

$$y - 4 = 4(x - 2)$$ $$y = 4x - 8 + 4$$ $$y = 4x - 4$$

6.6 線形近似

微分は、関数を直線で近似することにも使える。

線形近似

$x$ が $a$ に十分近いとき：

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

これを線形近似（または一次近似）という。

$x$

$y$

$4$

$6$

$12$

誤差約 $0.05$

誤差約 $0.54$

$y = \sqrt{x}$

接線（線形近似）$y = 2 + \tfrac{1}{4}(x - 4)$

図6: $f(x) = \sqrt{x}$ と、$a = 4$ での接線（線形近似）$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$。$x = 6$ では接線と曲線の差（誤差）は約 $0.05$ だが、$x = 12$ では約 $0.54$ に広がる。$a$ から離れるほど近似は悪くなる。

この近似の誤差はどれくらいだろうか。$h = x - a$ とおき、誤差を

$$E(h) = f(a+h) - \bigl[f(a) + f'(a)h\bigr]$$

とする。両辺を $h$ で割ると、微分係数の定義から

$$\dfrac{E(h)}{h} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} - f'(a) \to 0 \quad (h \to 0)$$

となる。つまり誤差 $E(h)$ は、$h$ そのものよりも速く $0$ に近づく（これを $E(h) = o(h)$ と書くことがある）。傾きが $f'(a)$ でない直線を使うと、$\dfrac{E(h)}{h}$ は $0$ に近づかない。これが接線を「最良の直線近似」と呼ぶ理由である。

$x$

$y$

$a = 4$

$a + h = 9$

$h = 5$

$(a,\ f(a)) = (4,\ 2)$

$f'(a)\,h = 1.25$

誤差 $0.25$

$f(a) + f'(a)h = 3.25$

$f(a+h) = 3$

$y = \sqrt{x}$

図7: 線形近似の内訳（$f(x) = \sqrt{x}$、$a = 4$、$h = 5$）。接線上の値 $f(a) + f'(a)h = 2 + \frac{1}{4} \cdot 5 = 3.25$ と本当の値 $f(9) = 3$ の差 $0.25$ が誤差である。$h$ を小さくすると誤差は $h$ よりずっと速く小さくなる（$h = 1$ では誤差約 $0.014$）。

例：$\sqrt{4.1}$ の近似計算

$f(x) = \sqrt{x}$、$a = 4$、$x = 4.1$ として計算する。

Step 1：必要な値を計算する。

$$f(4) = \sqrt{4} = 2$$ $$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$$

Step 2：線形近似公式を適用する。

$$\sqrt{4.1} \approx f(4) + f'(4)(4.1 - 4)$$ $$= 2 + \dfrac{1}{4} \times 0.1$$ $$= 2 + 0.025 = 2.025$$

検証：電卓で計算すると $\sqrt{4.1} \approx 2.0248...$

線形近似の結果 $2.025$ は非常に良い近似である。

6.7 この章のまとめ

微分の意味のまとめ

観点	$f'(x)$ の意味
幾何学	接線の傾き
物理学	瞬間変化率（速度など）
解析学	関数の増減の指標
近似	線形近似の係数

よくある質問

極値と最大値・最小値の違いは何か

極値は「局所的」な最大・最小（その点の近くだけで比べたときの最大または最小）である。最大値・最小値は定義域全体での最大・最小であり、極値が最大値・最小値と一致しない場合がある。例えば区間の端点で最大値が実現されることがある。

$f'(x) = 0$ であれば必ず極値になるか

いいえ。$f(x) = x^3$ では $f'(0) = 0$ であるが $x = 0$ は変曲点であり極値ではない。$f'(x) = 0$ は極値の必要条件であるが十分条件ではなく、$f'(x)$ の前後の符号変化（正→負なら極大、負→正なら極小）を確認する必要がある。

線形近似の精度はどう評価するか

線形近似 $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$ の誤差は、$h$ で割っても $0$ に近づく（$h$ より速く小さくなる）。$f''$ が存在するとき、誤差はおよそ $\dfrac{1}{2}f''(a)h^2$ である。$h$ が小さいほど精度が高く、$\sqrt{4.1}$ の近似（$h = 0.1$）では誤差が約 $0.00015$ と非常に小さくなる。

練習問題

練習1

物体の位置が $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ で与えられるとき：

速度 $v(t)$ を求めよ。
加速度 $a(t)$ を求めよ。
速度が $0$ になる時刻を求めよ。

練習2

$f(x) = x^3 - 12x + 5$ について：

$f'(x)$ を求めよ。
$f(x)$ の極大値と極小値を求めよ。

練習3

$f(x) = x^3$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。

練習4

線形近似を使って $\sqrt{9.2}$ の近似値を求めよ。

解答を見る

練習1の解答

$v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3)$
$a(t) = v'(t) = 6t - 12$
$v(t) = 0$ のとき $(t-1)(t-3) = 0$ より $t = 1$ または $t = 3$

練習2の解答

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x+2)(x-2)$
$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2, 2$
- $x = -2$：$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21$（極大値）
- $x = 2$：$f(2) = 2^3 - 12(2) + 5 = 8 - 24 + 5 = -11$（極小値）

練習3の解答

$f'(x) = 3x^2$ より $f'(1) = 3$

$f(1) = 1$

接線：$y - 1 = 3(x - 1)$ つまり $y = 3x - 2$

練習4の解答

$f(x) = \sqrt{x}$、$a = 9$、$x = 9.2$ とする。

$f(9) = 3$、$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ より $f'(9) = \dfrac{1}{6}$

$\sqrt{9.2} \approx 3 + \dfrac{1}{6}(0.2) = 3 + \dfrac{0.2}{6} = 3 + \dfrac{1}{30} \approx 3.0333$

（実際の値は約 $3.0332$）