第7章 積と商の微分
Product and Quotient Rules
入門
7.1 積の微分公式
2つの関数の積を微分しても、各関数の微分の積にはならない。たとえば $x \cdot x = x^2$ の微分は $2x$ だが、$x$ の微分 $1$ どうしを掛けると $1 \cdot 1 = 1$ になってしまう。正しい公式は次のとおりである。
$f(x)$ と $g(x)$ が微分可能なとき：
$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$または、$u = f(x)$, $v = g(x)$ と書くと：
$$(uv)' = u'v + uv'$$微分の定義から始める：
$$(f(x)g(x))' = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$Step 1：分子に $f(x+h)g(x)$ を足して引く（値は変わらない）。
$$\begin{aligned}&= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \bigl\{ f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) \\ &\qquad {}+ f(x+h)g(x) - f(x)g(x) \bigr\}\end{aligned}$$Step 2：共通因数でまとめる。
$$\begin{aligned}&= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \bigl\{ f(x+h)(g(x+h) - g(x)) \\ &\qquad {}+ g(x)(f(x+h) - f(x)) \bigr\}\end{aligned}$$Step 3：和を分ける。
$$\begin{aligned}&= \lim_{h \to 0} \biggl[ f(x+h) \cdot \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \\ &\qquad {}+ g(x) \cdot \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \biggr]\end{aligned}$$Step 4：各極限を計算する。
- $\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)$（微分可能な関数は連続だから）
- $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$
- $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$
Step 5：結果をまとめる。
$$\begin{aligned}(f(x)g(x))' &= f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) \\ &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\end{aligned}$$方法1：積の公式を使う
$f(x) = x^2$, $g(x) = x^3$ とすると、$f'(x) = 2x$, $g'(x) = 3x^2$
$$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$= 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2$$ $$= 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$$方法2：先に整理してから微分
$$h(x) = x^2 \cdot x^3 = x^5$$ $$h'(x) = 5x^4$$どちらも同じ結果になる。
$f(x) = x^2 + 1$, $g(x) = x^3 - 2x$ とする。
$f'(x) = 2x$, $g'(x) = 3x^2 - 2$
$$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$= 2x(x^3 - 2x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 2)$$ $$= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2$$ $$= 5x^4 - 3x^2 - 2$$$h(x) = f(x)g(x)k(x)$ の微分は、積の公式を繰り返し適用する。
$(fgk)' = ((fg)k)' = (fg)'k + (fg)k'$
$= (f'g + fg')k + fgk'$
$= f'gk + fg'k + fgk'$
一般に：
$$\begin{aligned}(f_1 f_2 \cdots f_n)' &= f'_1 f_2 \cdots f_n + f_1 f'_2 \cdots f_n \\ &\quad {}+ \cdots + f_1 f_2 \cdots f'_n\end{aligned}$$7.2 商の微分公式
$f(x)$ と $g(x)$ が微分可能で、$g(x) \neq 0$ のとき：
$$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$または：
$$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$$微分の定義から始める：
$$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)} - \dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}$$Step 1：分子を通分する。
$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \cdot \dfrac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}$$Step 2：分子に $f(x)g(x)$ を加え引く。
$$\begin{aligned}&= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h \cdot g(x+h)g(x)} \\ &\qquad {}\times \bigl\{ f(x+h)g(x) - f(x)g(x) \\ &\qquad\quad {}- f(x)g(x+h) + f(x)g(x) \bigr\}\end{aligned}$$Step 3：項をまとめる。
$$\begin{aligned}&= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h \cdot g(x+h)g(x)} \bigl\{ g(x)(f(x+h) - f(x)) \\ &\qquad {}- f(x)(g(x+h) - g(x)) \bigr\}\end{aligned}$$Step 4：分けて整理する。
$$\begin{aligned}&= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{g(x+h)g(x)} \biggl\{ g(x) \cdot \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &\qquad {}- f(x) \cdot \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \biggr\}\end{aligned}$$Step 5：極限を計算する。$g$ も微分可能なので連続で、$g(x+h) \to g(x)$ となる。
$$\begin{aligned}&= \dfrac{g(x) \cdot f'(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x) \cdot g(x)} \\ &= \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\end{aligned}$$商の微分公式の覚え方
$$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$$分子を「子」、分母を「母」と呼ぶと、右辺は「子を微分して母を掛け、子に母の微分を掛けたものを引き、母の2乗で割る」と読める。分子の形は積の公式 $(fg)' = f'g + fg'$ と同じで、違うのは真ん中の符号がマイナスになることと、分母に $g^2$ がつくことだけである。
引く順番に迷ったら、$f = 1$ を入れて確かめるとよい。$f' = 0$ なので分子は $-g'$ だけが残り、後で示す $\left(\dfrac{1}{g}\right)' = -\dfrac{g'}{g^2}$ と合う。順番を逆にすると符号が反対になってしまう。
$f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ とする。
$f'(x) = 2x$, $g'(x) = 1$
$$h'(x) = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$ $$= \dfrac{2x(x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2}$$ $$= \dfrac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2}$$ $$= \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$$ $$= \dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$$$f(x) = 1$, $g(x) = x$ とする。
$f'(x) = 0$, $g'(x) = 1$
$$h'(x) = \dfrac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$$これは $x^{-1}$ の微分が $-x^{-2}$ であることと一致する。
$f(x) = x^3 - 1$, $g(x) = x^2 + 1$ とする。
$f'(x) = 3x^2$, $g'(x) = 2x$
$$h'(x) = \dfrac{3x^2(x^2 + 1) - (x^3 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$分子を展開すると：
$$= \dfrac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ $$= \dfrac{x^4 + 3x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ $$= \dfrac{x(x^3 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$$7.3 特殊な場合
$g(x) \neq 0$ のとき：
$$\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)' = -\dfrac{g'(x)}{(g(x))^2}$$商の公式で $f(x) = 1$ とすると、$f'(x) = 0$ なので：
$$\left(\dfrac{1}{g}\right)' = \dfrac{0 \cdot g - 1 \cdot g'}{g^2} = -\dfrac{g'}{g^2}$$$g(x) = x^2 + 1$, $g'(x) = 2x$ より：
$$h'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$7.4 積と商の組み合わせ
方法1：分子の微分に積の公式を使う
分子を $f(x) = x(x-1)$, 分母を $g(x) = x+1$ とする。分子は積なので、積の公式で微分する：
$$f'(x) = 1 \cdot (x-1) + x \cdot 1 = 2x - 1$$また $g'(x) = 1$ である。
商の公式に入れると：
$$h'(x) = \dfrac{(2x-1)(x+1) - x(x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$$分子を展開すると：
$$\begin{aligned}&(2x-1)(x+1) - x(x-1) \\ &= (2x^2 + x - 1) - (x^2 - x) \\ &= x^2 + 2x - 1\end{aligned}$$ $$h'(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2}$$方法2：分子を先に展開してから商の公式
$h(x) = \dfrac{x^2 - x}{x+1}$ と展開しておくと、分子の微分は積の公式を使わずに $(x^2 - x)' = 2x - 1$ と求まる。あとは方法1と同じ計算になり、同じ結果が得られる。
7.5 公式のまとめ
| 形 | 公式 |
|---|---|
| 積 $(fg)'$ | $f'g + fg'$ |
| 商 $\left(\dfrac{f}{g}\right)'$ | $\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ |
| 逆数 $\left(\dfrac{1}{g}\right)'$ | $-\dfrac{g'}{g^2}$ |
どちらも「一方だけを微分し、もう一方はそのまま」にした項からできている。積は 2 つの項を $+$ で結び、商は $-$ で結んで $g^2$ で割る。
よくある質問
積の微分公式 $(fg)' = f'g + fg'$ はどう覚えるか
「前を微分して後はそのまま、次に前はそのまま後を微分して足す」と覚えよう。図1の長方形で見ると、「$f$ だけが変化した分 $f'g$ と $g$ だけが変化した分 $fg'$ の合計」と理解できる。
商の微分公式の符号はなぜ引き算なのか
$\dfrac{f}{g}$ は分母 $g$ が大きくなるほど小さくなる（$f$ が正のとき）。だから $g$ の変化 $g'$ が効く項 $fg'$ には、マイナスがつく。分子 $f$ の変化が効く項 $f'g$ は、積のときと同じくプラスである。積の微分 $f'g + fg'$ と比べて「後ろの項のプラスがマイナスになる」と覚えると混乱しにくい。
3つ以上の積の微分はどうなるか
$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ となる。一般に $n$ 個の積の微分では、各因子を 1 つだけ微分し残りはそのままにしたものの和である。積の微分公式を繰り返し適用することで導ける。
練習問題
次の関数を微分せよ。
- $f(x) = (x+2)(x-3)$
- $f(x) = (x^2+1)(x^3-x)$
- $f(x) = x^2(x+1)^2$（ヒント：$(x+1)^2 = x^2+2x+1$）
次の関数を微分せよ。
- $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$
- $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$
- $f(x) = \dfrac{x^3}{x-1}$
$f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}$（$x \neq 0$）を微分し、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めよ。
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練習1の解答
- $f'(x) = 1 \cdot (x-3) + (x+2) \cdot 1 = x-3+x+2 = 2x-1$
- $f'(x) = 2x(x^3-x) + (x^2+1)(3x^2-1)$
$= 2x^4-2x^2 + 3x^4-x^2+3x^2-1 = 5x^4-1$ - $(x+1)^2 = x^2+2x+1$ より
$f'(x) = 2x(x^2+2x+1) + x^2(2x+2)$
$= 2x^3+4x^2+2x + 2x^3+2x^2 = 4x^3+6x^2+2x = 2x(2x^2+3x+1)$
練習2の解答
- $f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$
- $f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2}$
$= \dfrac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$ - $f'(x) = \dfrac{3x^2(x-1) - x^3 \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{3x^3-3x^2-x^3}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}$
練習3の解答
$f(x) = \dfrac{x^2+1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$ と変形できるので：
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2}$
$f'(x) = 0$ となるのは $x^2 - 1 = 0$ より $x = \pm 1$