第15章関数の増減と極値

Q: 増減表はどのように書くか

横軸に x をとり、f'(x)=0 となる点や f'(x) が存在しない点を境界として区間を分ける。各区間で f'(x) の符号を調べ、f(x) の増減を矢印で示す。必要に応じて境界点での f(x) の値も記入する。

Q: 二階導関数による判定とは何か

f'(a) = 0 のとき、f''(a) > 0 なら極小、f''(a) < 0 なら極大と判定できる。f''(a) = 0 の場合は、この判定法だけでは結論が出ない。さらに高階の導関数で判定できる場合もあるが、必ず判定できるとは限らない。

Q: f'(x) が未定義の点も極値の候補になるか

はい。関数の定義域内で、f'(x)=0 となる点や f'(x) が存在しない点は極値の候補になる。例えば f(x)=|x| は x=0 で微分できないが、ここで極小値をとる。ただし、こうした点が必ず極値になるわけではない。

入門

導関数を使うと、関数がどの区間で増加・減少するか、また、どこで極大値・極小値をとるかを調べられる。この章では、導関数の符号を使った判定方法と、増減表を使って最大値・最小値を求める方法を学ぶ。

15.1 増減の判定

関数が増加しているか減少しているかは、導関数 $f'(x)$ の符号で調べられる。導関数は、その点での接線の傾きを表しているためである。

増減の判定定理

区間 $I$ の内部で $f$ が微分可能であるとする。区間 $I$ の内部のすべての点で次の条件が成り立つとき：

$f'(x) > 0$ ⇒ $f$ は $I$ で増加する
$f'(x) < 0$ ⇒ $f$ は $I$ で減少する
$f'(x) = 0$ ⇒ $f$ は $I$ で定数となる

つまり、導関数が正ならグラフは右上がり、負なら右下がりになる。導関数が $0$ になる点では接線が水平になるが、その点が必ず極大・極小になるとは限らない。

15.2 極値の定義と判定

極値の定義

関数 $f$ の定義域に含まれる点 $a$ の近くで、次の不等式が成り立つとき、$f(a)$ を極値という。

極大値：$a$ の十分近くにあるすべての $x$ について $f(x) \leq f(a)$ が成り立つとき
極小値：$a$ の十分近くにあるすべての $x$ について $f(x) \geq f(a)$ が成り立つとき

極大・極小は、近くの値と比べたときの最大・最小であり、定義域全体での最大値・最小値（最大・最小）とは区別する。

一階導関数による判定（符号変化）

$f$ が $a$ で連続であり、$a$ の左右の近くで微分可能であるとする。$a$ の左右で $f'(x)$ の符号を調べる。$f'$ が $a$ 自身で定義されている必要はない。

左側で $f'(x) > 0$、右側で $f'(x) < 0$ ⇒ $a$ で極大
左側で $f'(x) < 0$、右側で $f'(x) > 0$ ⇒ $a$ で極小
左右で符号が変わらない ⇒ $a$ では極大・極小にならない

この判定は、$f'(a)=0$ の場合だけでなく、$f'(a)$ が存在しない場合にも使える。ただし、$a$ が関数の定義域に含まれていることが必要である。

二階導関数による判定

$f'(a)=0$ で、$a$ の近くで二階微分ができるとき、$f''(a)$ の符号から極値を判定できる。

$f''(a) > 0$ ⇒ $a$ で極小
$f''(a) < 0$ ⇒ $a$ で極大
$f''(a) = 0$ ⇒ この方法だけでは判定できない

$f''(a)=0$ でも極大・極小になる場合と、ならない場合がある。たとえば $f(x)=x^4$ は $x=0$ で極小になる一方、$f(x)=x^3$ は $x=0$ で極値をとらない。

極大 $(-1,\ 4)$

$f'(-1) = 0,\ f''(-1) \lt 0$

極小 $(1,\ 0)$

$f'(1) = 0,\ f''(1) \gt 0$

$-1$

$x$

$y$

$y = x^3 - 3x + 2$（極値では接線が水平：$f' = 0$）

図1: $f(x) = x^3 - 3x + 2$ のグラフ（例と同じ関数）。$x = -1$ で極大値 $4$、$x = 1$ で極小値 $0$ をとり、どちらの点でも接線は水平（$f' = 0$）である。$f''(x) = 6x$ なので $f''(-1) = -6 \lt 0$、$f''(1) = 6 \gt 0$。

15.3 増減表の作成

例：$f(x) = x^3 - 3x + 2$ の増減表

Step 1：導関数を求める

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$

Step 2：$f'(x) = 0$ の解

$x = -1, 1$

Step 3：各区間で $f'(x)$ の符号を調べる

$x < -1$ と $x > 1$ では $f'(x)>0$、$-1 < x < 1$ では $f'(x)<0$ となる。

また、$f(-1)=4$、$f(1)=0$ である。これらを増減表にまとめる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	極大 $4$	↘	極小 $0$	↗

15.4 最大値・最小値問題

閉区間での最大・最小

$f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続ならば、その区間で最大値と最小値を必ずとる。候補となるのは次の点である。

端点 $x=a$、$x=b$
区間の内部で $f'(x)=0$ となる点
区間の内部で $f'(x)$ が存在しない点（ただし $f(x)$ は定義されている）

候補点での関数の値をすべて計算し、その中で最も大きい値が最大値、最も小さい値が最小値である。極大値・極小値だけを調べても、区間全体の最大値・最小値が決まるとは限らない。

例：$f(x) = x^3 - 3x$ の $[-2, 3]$ での最大・最小

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ より $x = \pm 1$

候補点での値：

$f(-2) = -8 + 6 = -2$
$f(-1) = -1 + 3 = 2$（極大）
$f(1) = 1 - 3 = -2$（極小）
$f(3) = 27 - 9 = 18$

最大値：$18$（$x=3$）、最小値：$-2$（$x=-2, 1$）

よくある質問

増減表はどのように書くか

横軸に $x$ をとり、$f'(x)=0$ となる点や $f'(x)$ が存在しない点を境界として区間を分ける。各区間で $f'(x)$ の符号を調べ、$f(x)$ の増減を矢印で示す。必要に応じて境界点での $f(x)$ の値も記入する。

二階導関数による判定とは何か

$f'(a)=0$ のとき、$f''(a)>0$ なら極小、$f''(a)<0$ なら極大と判定できる。$f''(a)=0$ の場合は、この判定法だけでは結論が出ない。さらに高階の導関数を調べることで判定できる場合もあるが、必ず判定できるとは限らない。

$f'(x)$ が未定義の点も極値の候補になるか

はい。関数の定義域内で、$f'(x)=0$ となる点や、$f'(x)$ が存在しない点は極値の候補になる。例えば $f(x)=|x|$ は $x=0$ で微分できないが、ここで極小値をとる。ただし、こうした点が必ず極値になるわけではない。

練習問題

練習1

$f(x) = x^4 - 4x^3$ の増減表を作り、極値を求めよ。

練習2

$f(x) = xe^{-x}$ の極値を求めよ。

解答を見る

練習1の解答

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$

$f'(x)=0$ の解は $x=0,3$。$x<0$ と $0 \lt x \lt 3$ では $f'(x)<0$、$x>3$ では $f'(x)>0$ である。

$x=0$ では導関数の符号が変わらないため、極値ではない（$f(0)=0$）。

$x=3$ では導関数が負から正に変わるため極小となり、$f(3)=81-108=-27$。

練習2の解答

$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

$f'(x) = 0$ より $x = 1$

$x < 1$ で $f' > 0$、$x > 1$ で $f' < 0$

$x = 1$ で極大、$f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$