第16章 凹凸と変曲点
入門
16.1 凹凸の定義
- 下に凸（凸関数）：区間 $I$ で $f''(x)>0$ なら、グラフはその区間で下に凸であり、各点の接線はグラフの下側にある。
- 上に凸（凹関数）：区間 $I$ で $f''(x)<0$ なら、グラフはその区間で上に凸であり、各点の接線はグラフの上側にある。
16.2 変曲点
曲線の凹凸が切り替わる点を変曲点という。
変曲点とは、点 $x=a$ の前後で曲線の凹凸が変わる点である。$f''$ が $x=a$ の前後で求められる場合は、左右で $f''$ の符号が変わるかを調べる。$f''(a)=0$ となる点は変曲点の候補になるが、それだけで変曲点とは限らない。また、$f''(a)$ が存在しない変曲点もある。
$f'(x) = 3x^2$, $f''(x) = 6x$
$f''(x) = 0$ より $x = 0$
$x < 0$ で $f'' < 0$（上に凸）、$x > 0$ で $f'' > 0$（下に凸）
よって $x = 0$ は変曲点
16.3 グラフの概形
導関数
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$
$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$
極値
$f'(x) = 0$ より $x = 0, 3$
$x = 0$：$f''(0) = 0$（判定不能、一階で確認）
$x = 3$：$f''(3) = 36 > 0$ → 極小、$f(3) = 81 - 108 + 6 = -21$
変曲点
$f''(x) = 0$ より $x = 0, 2$
両方で $f''$ の符号が変わるので変曲点
変曲点：$(0, 6)$, $(2, -10)$
よくある質問
上に凸・下に凸の直感的な意味は？
下に凸のグラフでは、グラフ上の2点を結ぶ線分（弦）がグラフより上にある。上に凸ではその逆である。$f''(x)>0$ となる区間ではグラフは下に凸、$f''(x)<0$ となる区間では上に凸と判定できる。
変曲点とは何か？どう求めるか
変曲点とは凹凸が変わる点である。$f''$ が $x=a$ の前後で求められるときは、前後で $f''$ の符号が変わるかを調べる。$f''(a)$ が存在する変曲点では $f''(a)=0$ となるが、逆は成り立たない（$f(x)=x^4$ の $x=0$ は $f''(0)=0$ でも変曲点ではない）。また $f''(a)$ が存在しない変曲点もある。例えば $f(x)=x^3$ の $x=0$ は変曲点である。
変曲点と極値の違いは？
変曲点は凹凸が変わる点（$f''$ が符号変化）、極値は増減が変わる点（$f'$ が符号変化）である。変曲点は凹凸の変化、極値は増減の変化に着目する別の概念であり、通常は一致しない。$f(x) = x^3$ では $x = 0$ が変曲点であるが極値ではない。
練習問題
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の変曲点を求めよ。
解答を見る
$f''(x) = 6x - 12 = 0$ より $x = 2$
$x < 2$ で $f'' < 0$、$x > 2$ で $f'' > 0$
変曲点：$(2, f(2)) = (2, 3)$