第2章 傾きの概念

直線の傾きから曲線の傾きへ

入門

2.1 直線の傾き

まず、中学校で学んだ直線の傾きを復習しよう。

定義：直線の傾き

直線 $y = mx + n$ において、$m$ を傾き（slope）と呼ぶ。

2点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を通る直線の傾きは：

$$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}$$
1 2 3 4 5 2 4 6 8 x y (1, 1) (4, 7) Δx = 3 Δy = 6 傾き m = Δy / Δx = 6 / 3 = 2
図1: 直線の傾き。2 点 $(1, 1)$ と $(4, 7)$ を通る直線の傾きは $\dfrac{6}{3} = 2$ である。

傾きの意味

傾き $m = 2$ は、「$x$ が $1$ 増えると、$y$ は $2$ 増える」ということを意味する。

-2 -1 1 2 -3 -2 -1 1 2 3 x y m = 2 m = 1 m = 0 m = −1
図2: 傾きの大きさと向き。$m \gt 0$ なら右上がり、$m = 0$ なら水平、$m \lt 0$ なら右下がりになる。

2.2 曲線の問題

直線の傾きは、どの2点を取っても同じ値になる。しかし、曲線ではどうだろうか。

-1 1 2 1 2 3 4 5 x y A B C
図3: 曲線では点ごとに傾きが違う（$y = x^2$ の点 A, B, C での接線）。
問題

曲線上の「ある点での傾き」をどのように定義すればよいだろうか。

2点を結ぶと傾きは計算できるが、それは区間全体の平均であって、ある1点での傾きではない。

2.3 割線と接線

この問題を解決するために、割線と接線という概念を導入する。

定義：割線（secant line）

曲線上の2点を結ぶ直線を割線（せきせん）と呼ぶ。

定義：接線（tangent line）

接線（せっせん）は、曲線上の点で、その点の近くの曲線の向きを表す直線である。その点で微分係数が求められるとき、接線の傾きは微分係数に等しい。接線は曲線とその点以外でも交わることがあり、必ずしも曲線と1点だけを共有するわけではない。

1 2 1 2 3 4 5 x y 割線（2 点 P, Q を結ぶ） P Q 1 2 1 2 3 4 5 x y 接線（点 P での向き） P
図4: 割線（左）と接線（右）。割線は曲線上の 2 点を結び、接線はその点での曲線の向きを表す。

アイデア：割線を接線に近づける

ここで重要なアイデアが登場する。

キーアイデア

点 Q を点 P に限りなく近づけるとき、割線の傾きが有限の極限値に収束すれば、その極限値が点 P における接線の傾きとなる。

したがって、割線が接線に近づくという説明には、傾きの極限が存在するという条件が必要である。

Q を P に近づけていく Q₁ Q₂ Q₃ Q₄ P 接線 Q → P Q が P に近づくと 割線 → 接線 傾き → 接線の傾き
図5: 点 Q を点 P に近づけると、割線 PQ（色の線）は P での接線（赤）に近づき、その傾きは接線の傾きに近づく。

2.4 接線の傾きを求める

この考え方を数式で表現してみよう。

曲線 $y = f(x)$ 上の点 P$(a, f(a))$ における接線の傾きを求める。

Step 1：割線の傾きを計算する

点 P$(a, f(a))$ と、そこから $h$ だけ離れた点 Q$(a+h, f(a+h))$ を考える。

割線 PQ の傾き P a f(a) Q a+h f(a+h) h f(a+h) - f(a)
図6: 割線 PQ の傾きは $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$。横の変化量が $h$、縦の変化量が $f(a+h)-f(a)$ である。

割線 PQ の傾きは：

$$\text{割線の傾き} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Step 2：h を 0 に近づける

$h$ を $0$ に近づけると、点 Q は点 P に近づく。

このとき、割線の傾きは接線の傾きに近づく：

$$\text{接線の傾き} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
重要な式

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きは：

$$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

この極限が存在するとき、その値を微分係数と呼ぶ。

2.5 具体例で計算

例題：$f(x) = x^2$ について、$x = 2$ における接線の傾きを求めよ。

解答（詳細な計算）

Step 1：割線の傾きを計算する

$a = 2$ とおく。割線の傾きは：

$$\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}$$

Step 2：$f(2+h)$ を展開する

$$f(2+h) = (2+h)^2$$

$(2+h)^2$ を展開すると：

$$(2+h)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot h + h^2 = 4 + 4h + h^2$$

Step 3：$f(2)$ を計算する

$$f(2) = 2^2 = 4$$

Step 4：差を計算する

$$f(2+h) - f(2) = (4 + 4h + h^2) - 4 = 4h + h^2$$

Step 5：$h$ で割る

$$\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h}$$

分子を因数分解すると：

$$\dfrac{h(4 + h)}{h} = 4 + h \quad (h \neq 0)$$

Step 6：$h \to 0$ の極限をとる

$$\lim_{h \to 0} (4 + h) = 4 + 0 = 4$$

答え：接線の傾きは 4

y = x² の x = 2 における接線 0 1 2 3 4 1 4 9 (2, 4) 接線の傾き m = 4 y = 4x - 4
図7: $y = x^2$ の点 $(2, 4)$ における接線 $y = 4x - 4$。傾きは $4$ である。

この章のまとめ

  • 直線の傾きは $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ で計算できる
  • 曲線では傾きが場所によって異なる
  • 割線：曲線上の2点を結ぶ直線
  • 接線：曲線上の1点で接する直線
  • 割線の傾き → 接線の傾き（$h \to 0$ で）
  • 接線の傾き $= \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

よくある質問

割線と接線の違いは何か

割線（secant line）は曲線上の2点を結ぶ直線である。接線（tangent line）は、その点の近くで曲線の向きを表す直線であり、曲線とその点以外でも交わることがある。割線は2点間の「平均の傾き」を表し、接線はある点での「瞬間の傾き」（微分係数）を表す。

曲線の全ての点で接線が引けるわけではないのか

その通りである。$y = |x|$ の $x=0$ のように、左右から近づくと傾きが一致しない点では接線が引けない。左側からの傾きは $-1$、右側からは $+1$ で異なるため、このような点では「微分不可能」という。

$h \to 0$ にするとなぜ接線になるのか

点 Q を点 P に近づけ、割線の傾きが有限の極限値に収束すると、その値が点 P における接線の傾きになる。これが微分の本質的な考え方である。

練習問題

問1（基礎）：$y = 3x - 2$ の傾きを求めよ。

ヒント

傾き $= m$（$y = mx + n$ の係数）。$m = 3$。

問2（標準）：$f(x) = x^2$ について、$x = 3$ における接線の傾きを $h \to 0$ の極限で求めよ。

ヒント

$\dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h \to 6$。

問3（応用）：$f(x) = x^3$ について、$x = a$ における接線の傾きを極限で求めよ。

ヒント

$(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ を展開。$h \to 0$ で $3a^2$ が得られる。