第3章 極限の直感
「限りなく近づく」という考え方
入門
3.1 極限とは
前章では、接線の傾きを求めるために「$h \to 0$」という表現を使った。これは極限という概念に関係している。
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ とは：
「$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ は $L$ に限りなく近づく」
重要なのは、極限では $x=a$ のときの値ではなく、$x$ が $a$ に近い（ただし $x\neq a$ の）ときの $f(x)$ の振る舞いを見ることである。そのため、$f(a)$ が定義されているかどうかは、極限の存在そのものには影響しない。
3.2 数列の極限
極限を理解するために、まず数列の極限を考えよう。
例：1/n の極限
数列 $a_n = \dfrac{1}{n}$ を考える。
| n | 1 | 2 | 10 | 100 | 1000 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $a_n = 1/n$ | 1 | 0.5 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | ... |
$n$ が大きくなるにつれて、$a_n$ は0に限りなく近づく。
$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$$$\dfrac{1}{n}$ は 0 に近づくが、決して 0 に到達しない。
どんなに大きな $n$ をとっても、$\dfrac{1}{n} > 0$ である。
3.3 関数の極限
数列の極限を理解したところで、関数の極限を考える。
例1：簡単な極限
$$\lim_{x \to 2} (x + 3)$$$x$ が 2 に近づくとき、$x + 3$ はどうなるだろうか。
| x | 1.9 | 1.99 | 1.999 | → | 2.001 | 2.01 | 2.1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 3 | 4.9 | 4.99 | 4.999 | → 5 | 5.001 | 5.01 | 5.1 |
明らかに、$x + 3$ は 5 に近づく。
$$\lim_{x \to 2} (x + 3) = 5$$例2：少し複雑な極限
$$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$$ここで問題がある。$x = 2$ を代入すると：
$$\dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$$$\dfrac{0}{0}$ は不定形と呼ばれ、この形だけから極限値を判断することはできない。
しかし、極限は「$x = 2$ での値」ではなく、「$x$ が 2 に近づくときの値」である。
Step 1：分子を因数分解する
$$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$$Step 2：約分する（$x \neq 2$ のとき）
$$\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x + 2 \quad (x \neq 2)$$Step 3：極限をとる
$$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$$グラフを見ると、$x = 2$ では関数は定義されていないが、$x$ が 2 に近づくと、関数値は 4 に近づく。
3.4 極限の計算法則
関数 $f(x)$ と $g(x)$ の極限がともに有限の値に定まるとき、極限には次の計算法則が成り立つ。
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$、$\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M$（$L,M$ は有限の実数）とする。このとき：
1. 和の法則
$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$$2. 差の法則
$$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$$3. 積の法則
$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$4. 商の法則（$M \neq 0$ のとき）
$$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$$5. 定数倍の法則
$$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$$3.5 $h \to 0$ の極限
微分で使う極限は、特に $h \to 0$ の形をしている。
例：微分で現れる極限
$f(x) = x^2$ の導関数を求めるとき、次の極限を計算しました：
$$\lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}$$Step 1：$(x+h)^2$ を展開する
$$(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$$Step 2：分子を計算する
$$(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$$Step 3：$h$ で割る
$$\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h}$$Step 4：分子を $h$ で因数分解する
$$\dfrac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \quad (h \neq 0)$$Step 5：$h \to 0$ の極限をとる
$$\lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x$$したがって、$(x^2)' = 2x$ である。
3.6 極限が存在しない場合
すべての極限が存在するわけではない。
例1：発散（無限大に向かう）
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}$$$x$ が 0 に近づくと、$\dfrac{1}{x^2}$ は限りなく大きくなる。
このように、関数値が限りなく大きくなることを「$+\infty$ に発散する」という。$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$ と表すこともある。ただし、これは有限の実数に収束する通常の意味での極限が存在するということではない。
例2：振動（値が定まらない）
$$\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$$$x$ が 0 に近づくと、$\dfrac{1}{x}$ の絶対値は限りなく大きくなり、$\sin$ の値は $-1$ と $1$ の間で振動し続ける。そのため、一定の値には近づかない。
- 有限の値に近づかず、$+\infty$ または $-\infty$ に発散する
- 振動する（一定の値に近づかない）
- 左極限と右極限が異なる
3.7 片側極限
これまで見てきた極限では、$x$ は $a$ に両側から近づいていた。しかし、片側からだけ近づく極限を考えることもできる。
右極限（右から近づく）：
$$\lim_{x \to a^+} f(x) \quad \text{または} \quad \lim_{x \to a+0} f(x)$$$x$ が $a$ より大きい側から $a$ に近づくときの極限。
左極限（左から近づく）：
$$\lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{または} \quad \lim_{x \to a-0} f(x)$$$x$ が $a$ より小さい側から $a$ に近づくときの極限。
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が有限の実数として存在するための必要十分条件は、左極限と右極限がそれぞれ有限の実数として存在し、かつ次のように一致することである：
$$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$すなわち、左極限と右極限が一致することである。
例：左極限と右極限が異なる場合
符号関数 $\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & (x > 0) \\ 0 & (x = 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases}$ を考える。
この場合：
$$\lim_{x \to 0^-} \text{sgn}(x) = -1, \quad \lim_{x \to 0^+} \text{sgn}(x) = 1$$左極限と右極限が異なるため、$\displaystyle\lim_{x \to 0} \text{sgn}(x)$ は存在しない。
- 微分可能性の判定（第4章で学ぶ $|x|$ の例）
- 不連続点の分類
- $\ln x$、$\sqrt{x}$ など定義域が制限された関数
この章のまとめ
- 極限：$x$ が $a$ に近づくときの関数値の行き先
- $x = a$ での値とは別物（到達ではなく接近）
- 極限の法則：和・差・積・商の極限は普通に計算できる
- $\dfrac{0}{0}$ の不定形は因数分解などで解消する
- 微分では $h \to 0$ の極限を使う
- 有限の値に収束しない場合もある（無限大への発散・振動など）
- 片側極限：$\displaystyle\lim_{x \to a^+}$（右極限）、$\displaystyle\lim_{x \to a^-}$（左極限）
- 極限が存在する ⇔ 左極限と右極限が一致する
よくある質問
「$x \to a$」は「$x = a$」と同じか
いいえ、全く異なる。$\lim_{x \to a} f(x)$ は「$x$ が $a$ に限りなく近づくとき」の話で、$x = a$ における値 $f(a)$ とは無関係である。$f(a)$ が定義されていない点でも極限は計算できる。例えば $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ は $x=1$ で未定義であるが、$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ である。
極限と連続の関係は何か
関数 $f$ が点 $x=a$ で連続であるとは、$f(a)$ が定義され、$\lim_{x \to a} f(x)$ が存在し、さらに $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$ が成り立つことである。つまり、点 $a$ での極限値と関数値が一致するとき、関数はその点で連続である。極限が存在しても $f(a)$ と一致しない場合や、$f(a)$ が定義されていない場合は、その点で連続ではない。
$\dfrac{0}{0}$ の不定形はどうやって解消するか
主な方法として (1) 因数分解（例: $\dfrac{x^2-9}{x-3} = x+3$）、(2) 有理化（根号を含む場合）、(3) ロピタルの定理（大学で学ぶ方法）がある。基本的には分子・分母に共通因子を見つけて消去する。
練習問題
問1（基礎）：$\displaystyle\lim_{x \to 2} (3x - 1)$ を求めよ。
ヒント
連続関数なので代入できる。$3 \cdot 2 - 1 = 5$。
問2（標準）：$\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ を求めよ。
ヒント
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ と因数分解すると $x+3 \to 6$。
問3（応用）：$\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{(2+h)^2 - 4}{h}$ を求めよ。またこれは何を意味するか説明せよ。
ヒント
展開すると $\dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h \to 4$。これは $f(x) = x^2$ の $x=2$ における微分係数（接線の傾き）を表す。