第9章 三角関数の微分

O

A

B

P

Q

$x$

$\sin x$

$\tan x$

$\cos x$

$1$

証明の詳細

Step 1：$0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ とし、単位円における三角形と扇形の面積を比較する。

単位円上で：

• 三角形 OAP の面積 = $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \dfrac{\sin x}{2}$
• 扇形 OAP の面積 = $\dfrac{x}{2\pi} \cdot \pi \cdot 1^2 = \dfrac{x}{2}$
• 三角形 OAQ の面積 = $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \dfrac{\tan x}{2}$

Step 2：三角形 OAP、扇形 OAP、三角形 OAQ の面積の大小関係から、次の不等式を得る。

$$\dfrac{\sin x}{2} < \dfrac{x}{2} < \dfrac{\tan x}{2}$$

Step 3：$0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x > 0$、$\cos x > 0$ なので、両辺を正の量で割って整理する。

$$1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x}$$

Step 4：逆数をとる（不等号が逆転）。

$$\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$$

Step 5：$x \to 0$ の極限をとる。

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$ なので、はさみうちの原理より右側からの極限は $1$ である。さらに、$\dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}$ であるから、この関数は偶関数であり、左側からの極限も $1$ となる。

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$$

半角の公式 $1 - \cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$ を使う：

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2\dfrac{x}{2}}{x^2}$$ $$= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\dfrac{\sin\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4}$$ $$= 2 \cdot 1^2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$$

また、第1式はこの結果を用いて次のように導ける。

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x} = \lim_{x \to 0} x \cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2} = 0 \cdot \dfrac{1}{2}=0$$

微分の定義から：

$$\dfrac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$

Step 1：加法定理を使って展開する。

$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ より：

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$$

Step 2：項を整理する。

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$$

Step 3：和を分ける。

$$= \lim_{h \to 0} \left[ \sin x \cdot \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \dfrac{\sin h}{h} \right]$$

Step 4：各極限を計算する。

• $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{h} = 0$
• $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} = 1$

Step 5：結果をまとめる。

$$= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

微分の定義から：

$$\dfrac{d}{dx}\cos x = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$$

Step 1：加法定理を使う。

$\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ より：

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$$

Step 2：項を整理する。

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$$

Step 3：和を分ける。

$$= \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \cdot \dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \dfrac{\sin h}{h} \right]$$

Step 4：各極限を計算する。

$$= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$$

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$（$\cos x \ne 0$）なので、商の微分公式を使う。

Step 1：商の公式を適用する。

$$\dfrac{d}{dx}\tan x = \dfrac{d}{dx}\dfrac{\sin x}{\cos x}$$ $$= \dfrac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x}$$

Step 2：微分を代入する。

$$= \dfrac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$$

Step 3：分子を整理する。

$$= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

Step 4：三角関数の基本公式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より：

$$= \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ より、$\dfrac{1}{g}$ の微分公式を使う：

$$\dfrac{d}{dx}\sec x = -\dfrac{(\cos x)'}{\cos^2 x} = -\dfrac{-\sin x}{\cos^2 x}$$ $$= \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x$$