第10章 指数関数の微分

Derivatives of Exponential Functions

入門

10.1 自然対数の底 $e$

指数関数の微分を学ぶ前に、数学で最も重要な定数の一つである $e$ を導入する。

自然対数の底 $e$ の定義
$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$$

または、同等の定義として：

$$e = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{1/h} \qquad (h > -1)$$

$e \approx 2.71828...$（無理数）

数列 (1 + 1/n)^n の e への収束 n を大きくすると、数列の値が e ≈ 2.718 に下側から近づく様子を示す。 (1 + 1/n)ⁿ の収束 n y e ≈ 2.718 2 3 1 2 3 5 10 50 100 n → ∞ で (1 + 1/n)ⁿ → e に収束
図1: $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ の値。$n$ を大きくすると $e \approx 2.718$ に下から近づく（横軸は対数目盛り、縦軸は途中から）。
$e$ に関する重要な極限
$$\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h} = 1$$
証明

$e = \lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h}$ と対数関数の連続性から：

$$\ln e = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}$$

$\ln e = 1$ なので、次の極限が得られる。

$$\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h} = 1$$

$t = e^h - 1$ とおくと、$h = \ln(1+t)$ で、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ である。

$$\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h} = \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\ln(1+t)} = \dfrac{1}{\lim_{t \to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}} = \dfrac{1}{1} = 1$$

10.2 $e^x$ の微分

定理
$$\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$$

$e^x$ は「自分自身が導関数」という特別な関数である。

証明

微分の定義から：

$$\dfrac{d}{dx}e^x = \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

Step 1：指数法則を使って $e^{x+h} = e^x \cdot e^h$ と分解する。

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}$$

Step 2：$e^x$ をくくり出す。

$$= \lim_{h \to 0} e^x \cdot \dfrac{e^h - 1}{h}$$

Step 3：$e^x$ は $h$ に依存しないので、極限の外に出せる。

$$= e^x \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h}$$

Step 4：基本極限公式 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h} = 1$ を使う。

$$= e^x \cdot 1 = e^x$$
指数関数 y = e^x と接線 y = e^x のグラフ。x = 0 と x = 1 における接線の傾きは、それぞれ e^0 = 1、e^1 = e である。 y = eˣ（関数と導関数が一致） x y -2 -1 1 2 1 2 3 特別な性質 各点での接線の傾き = その点での関数値 x=0: 傾き=1=e⁰ x=1: 傾き=e≈2.72
図2: $y = e^x$ と、$x = 0$・$x = 1$ での接線。接線の傾きはその点での関数の値 $e^0 = 1$、$e^1 = e$ に等しい。
$e^x$ が特別な理由

$e^x$ は、微分しても自分自身に戻る特別な関数である。

$f'(x) = f(x)$ を満たす関数は、定数 $C$ を用いて $f(x) = Ce^x$ と表されるものに限られる。

10.3 $a^x$ の微分（$a > 0$）

定理

$a > 0$ のとき：

$$\dfrac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$$
証明

$a^x$ を $e$ を使って書き換える。

Step 1：$a = e^{\ln a}$ なので：

$$a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \ln a}$$

Step 2：連鎖律を適用する。$u = x \ln a$ とおくと：

$$\dfrac{d}{dx}a^x = \dfrac{d}{dx}e^{x \ln a} = e^{x \ln a} \cdot \dfrac{d}{dx}(x \ln a)$$

Step 3：$\ln a$ は定数なので：

$$= e^{x \ln a} \cdot \ln a$$

Step 4：$e^{x \ln a} = a^x$ に戻す。

$$= a^x \ln a$$
例1：$2^x$ の微分
$$\dfrac{d}{dx}2^x = 2^x \ln 2 \approx 2^x \cdot 0.693$$
例2：$10^x$ の微分
$$\dfrac{d}{dx}10^x = 10^x \ln 10 \approx 10^x \cdot 2.303$$
例3：$3^{2x}$ の微分

連鎖律を使う。$u = 2x$ とおくと：

$$\dfrac{d}{dx}3^{2x} = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2 = 2 \cdot 3^{2x} \ln 3$$

10.4 連鎖律との組み合わせ

合成関数としての指数関数の微分

$g(x)$ が微分可能で、$a > 0$ のとき：

$$\dfrac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}a^{g(x)} = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$$
例1：$e^{3x}$ の微分
$$\dfrac{d}{dx}e^{3x} = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$$
例2：$e^{x^2}$ の微分
$$\dfrac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$$
例3：$e^{\sin x}$ の微分
$$\dfrac{d}{dx}e^{\sin x} = e^{\sin x} \cdot \cos x$$
例4：$e^{-x^2}$ の微分

$g(x) = -x^2$, $g'(x) = -2x$ より：

$$\dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$$

（これはガウス関数の微分として重要）

ガウス関数とその導関数 ガウス関数 e^(-x^2) は x = 0 で最大となり、その導関数 -2x e^(-x^2) は原点を通る奇関数である。 ガウス関数 y = e⁻ˣ² とその導関数 x 1 y = e⁻ˣ² y' = -2xe⁻ˣ² x=0で最大値、導関数は0を通る
図3: ガウス関数 $y = e^{-x^2}$（青）とその導関数 $y = -2xe^{-x^2}$（赤の破線）。導関数は $x = 0$ で $0$ になり、$x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極値をとる。

10.5 積・商との組み合わせ

例1：$xe^x$ の微分

積の公式を使う：

$$\dfrac{d}{dx}(xe^x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x) = (1+x)e^x$$
例2：$x^2 e^{-x}$ の微分

積の公式を使う：

$$\dfrac{d}{dx}(x^2 e^{-x}) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x})$$ $$= e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)e^{-x}$$
例3：$\dfrac{e^x}{x}$ の微分

$x \neq 0$ の範囲で、商の公式を使う：

$$\dfrac{d}{dx}\dfrac{e^x}{x} = \dfrac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$$
例4：$\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$（双曲線正弦関数 $\sinh x$）の微分
$$\dfrac{d}{dx}\dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{e^x - (-1)e^{-x}}{2} = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

10.6 指数関数の微分公式まとめ

指数関数の微分公式
関数 導関数
$e^x$ $e^x$
$e^{g(x)}$ $e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$a^x$（$a > 0$） $a^x \ln a$
$a^{g(x)}$（$a > 0$） $a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

よくある質問

$(e^x)' = e^x$ はなぜ成立するのか

微分の定義から $(e^x)' = e^x \cdot \lim_{h \to 0}\dfrac{e^h - 1}{h}$ となる。$e$ の定義から $\lim_{h \to 0}\dfrac{e^h - 1}{h} = 1$ が成立するため $(e^x)' = e^x$ が導かれる。「自分自身が自分の微分になる」という $e^x$ 固有の性質である。

底が $e$ 以外の場合 $(a^x)'$ はどうなるか

$a > 0$ とする。$a^x = e^{x \ln a}$ と書き直して連鎖律を使うと $(a^x)' = a^x \ln a$ である。$a = e$ のとき $\ln e = 1$ なので $(e^x)' = e^x$ になる。$a > 1$ なら $\ln a > 0$（増加）、$0 < a < 1$ なら $\ln a < 0$（減少）と判定できる。

$e^x$ の微分が自分自身になることはどう応用されるか

$f'(x) = kf(x)$（変化率が自身に比例）を満たす関数が $f(x) = Ce^{kx}$ である。人口成長・放射性崩壊・RC 回路の充放電・複利計算などに現れ、「自然界の成長・減衰のモデル」として重要である。

練習問題

練習1：基本

次の関数を微分せよ。

  1. $e^{5x}$
  2. $e^{-2x}$
  3. $e^{x^3}$
  4. $3^x$
練習2：複合

次の関数を微分せよ。

  1. $x^3 e^x$
  2. $e^x \sin x$
  3. $\dfrac{e^x}{x^2}$
  4. $e^{x^2 + 2x}$
練習3

$f(x) = xe^{-x}$ について：

  1. $f'(x)$ を求めよ。
  2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めよ。
  3. $f(x)$ の極値を求めよ。
解答を見る

練習1の解答

  1. $5e^{5x}$
  2. $-2e^{-2x}$
  3. $e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$
  4. $3^x \ln 3$

練習2の解答

  1. $3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2(3+x)e^x$
  2. $e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$
  3. $\dfrac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{e^x(x-2)}{x^3}$
  4. $e^{x^2+2x} \cdot (2x+2) = 2(x+1)e^{x^2+2x}$

練習3の解答

  1. $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x) = (1-x)e^{-x}$
  2. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1-x = 0 \Leftrightarrow x = 1$
  3. $x < 1$ で $f'(x) > 0$（増加）、$x > 1$ で $f'(x) < 0$（減少）
    よって $x = 1$ で極大
    極大値：$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e}$