(ln x)' = 1/x はなぜ成立するのか

y = ln x を e^y = x と書き直し、両辺を x で微分すると e^y・y' = 1 となる。y' = 1/e^y = 1/x が得られる。別の方法として微分の定義から lim(h→0)(ln(x+h) - ln x)/h を変形しても導ける。

(log_a x)' = 1/(x ln a) の形を覚えるコツは？

log_a x = ln x / ln a と変換すると、ln a は定数なので (ln x)' = 1/x を ln a で割るだけである。a = e なら ln e = 1 となり (ln x)' = 1/x に一致する。

第11章対数関数の微分

Q: 対数微分法とはどういう手法か

両辺の自然対数をとってから微分する手法である。例えば y = x^x の微分は ln y = x ln x として両辺を x で微分し y'/y = ln x + 1 を得て y' = x^x(ln x + 1) となる。べき乗や積・商の複雑な関数に有効である。

Derivatives of Logarithmic Functions

入門

11.1 自然対数 $\ln x$ の微分

定理

$$\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x} \quad (x > 0)$$

証明（$e^{\ln x} = x$ を微分する）

$\ln x$ は $e^x$ の逆関数なので、$x > 0$ で $e^{\ln x} = x$ が成り立つ。$\ln x$ が微分可能であることは認めて（別証で定義から確かめる）、この両辺を $x$ で微分する。

Step 1：左辺は合成関数なので、連鎖律（第8章）と $(e^u)' = e^u$（第10章）を使う。

$$\dfrac{d}{dx}e^{\ln x} = e^{\ln x} \cdot \dfrac{d}{dx}\ln x = x \cdot \dfrac{d}{dx}\ln x$$

Step 2：右辺 $x$ の微分は $1$ なので：

$$x \cdot \dfrac{d}{dx}\ln x = 1$$

Step 3：両辺を $x$（$\gt 0$）で割る。

$$\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$$

別証（定義から直接）

$$\dfrac{d}{dx}\ln x = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln x}{h}$$

Step 1：対数の性質 $\ln A - \ln B = \ln\dfrac{A}{B}$ を使う。

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \ln\dfrac{x+h}{x} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \ln\left(1 + \dfrac{h}{x}\right)$$

Step 2：$t = \dfrac{h}{x}$ とおくと、$h = tx$, $h \to 0$ で $t \to 0$

$$= \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{tx} \ln(1 + t) = \dfrac{1}{x} \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+t)}{t}$$

Step 3：第10章で示した極限 $\displaystyle \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+t)}{t} = 1$ より：

$$= \dfrac{1}{x} \cdot 1 = \dfrac{1}{x}$$

$x$

$y$

$1$

$2$

$3$

$4$

$2$

$1$

$-1$

$\dfrac{1}{1} = 1$

$\tfrac{1}{3}$

傾き $1$

傾き $\tfrac{1}{3}$

$y = \ln x$

$y = \dfrac{1}{x}$

図1: $y = \ln x$（青）と、その導関数 $y = \dfrac{1}{x}$（赤の破線）。$x = 1$ での接線（緑）の傾きは $1$、$x = 3$ での接線の傾きは $\dfrac{1}{3}$ で、同じ $x$ での $\dfrac{1}{x}$ の高さ（赤い点）と一致する。$x$ が大きくなるほど $\ln x$ の増え方はゆるやかになり、$x \to +0$ では傾きが限りなく大きくなる。

11.2 一般の対数関数 $\log_a x$ の微分

定理

$a > 0$, $a \neq 1$ のとき：

$$\dfrac{d}{dx}\log_a x = \dfrac{1}{x \ln a}$$

証明

底の変換公式 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ を使う。

Step 1：底を変換する。

$$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$$

Step 2：$\dfrac{1}{\ln a}$ は定数なので：

$$\dfrac{d}{dx}\log_a x = \dfrac{1}{\ln a} \cdot \dfrac{d}{dx}\ln x$$

Step 3：$\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$ を代入する。

$$= \dfrac{1}{\ln a} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x \ln a}$$

例：$\log_{10} x$（常用対数）の微分

$$\dfrac{d}{dx}\log_{10} x = \dfrac{1}{x \ln 10} \approx \dfrac{1}{2.303x} \approx \dfrac{0.434}{x}$$

11.3 連鎖律との組み合わせ

合成関数としての対数の微分

$g(x) > 0$ のとき：

$$\dfrac{d}{dx}\ln(g(x)) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$$

導出

$u = g(x)$ とおくと、$\dfrac{d}{du}\ln u = \dfrac{1}{u}$ なので、連鎖律より：

$$\dfrac{d}{dx}\ln(g(x)) = \dfrac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$$

例1：$\ln(x^2 + 1)$ の微分

$g(x) = x^2 + 1$, $g'(x) = 2x$ より：

$$\dfrac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$$

例2：$\ln(\sin x)$ の微分

$\sin x \gt 0$ の範囲で考える。$g(x) = \sin x$, $g'(x) = \cos x$ より：

$$\dfrac{d}{dx}\ln(\sin x) = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$

例3：$\ln|x|$ の微分

$x > 0$ のとき：$\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$

$x \lt 0$ のとき：$\ln|x| = \ln(-x)$ なので、$g(x) = -x$ として上の公式を使うと

$$\dfrac{d}{dx}\ln(-x) = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}$$

よって、$x \neq 0$ のすべてで：

$$\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}$$

例4：$\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の微分

$g(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}$ とおく。

$g'(x) = 1 + \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}$

分子の $\sqrt{x^2+1} + x$ は $g(x)$ そのものなので、$g'(x) = \dfrac{g(x)}{\sqrt{x^2+1}}$ である。よって：

$$\begin{aligned}\dfrac{d}{dx}\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) &= \dfrac{g'(x)}{g(x)} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}$$

11.4 対数微分法

複雑な積・商・べき乗の微分を簡単にする強力な技法である。

対数微分法

$y = f(x) \gt 0$ のとき、両辺の自然対数をとって：

$$\ln y = \ln f(x)$$

両辺を $x$ で微分すると：

$$\dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx}\ln f(x)$$

これを $\dfrac{dy}{dx}$ について解く。$f(x)$ が負になるところでは、両辺の絶対値の対数 $\ln|y| = \ln|f(x)|$ をとれば、例3の $(\ln|x|)' = \dfrac{1}{x}$ と同じ理由で同じ式が得られる。

対数をとると、積は和に、商は差に、べき乗は係数になる（$\ln(AB) = \ln A + \ln B$、$\ln\dfrac{A}{B} = \ln A - \ln B$、$\ln A^k = k\ln A$）。そのため、微分しにくい積・商・べき乗が、微分しやすい和と差に変わる。

例1：$y = x^x$（$x > 0$）の微分

底も指数も $x$ なので、$x^n$ の公式も $a^x$ の公式も使えない。対数微分法を使う。

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$$

Step 2：両辺を $x$ で微分する。

$$\dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$$

Step 3：$\dfrac{dy}{dx}$ を求める。

$$\dfrac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$$

例2：$y = \dfrac{x^2(x+1)^3}{(x-1)^4}$ の微分

普通に商の公式を使うと非常に複雑になる。対数微分法を使う（$x \gt 1$ で考える。ほかの範囲でも、絶対値をとれば同じ結果になる）。

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = \ln x^2 + \ln(x+1)^3 - \ln(x-1)^4$$ $$= 2\ln x + 3\ln(x+1) - 4\ln(x-1)$$

Step 2：両辺を $x$ で微分する。

$$\dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+1} - \dfrac{4}{x-1}$$

Step 3：$\dfrac{dy}{dx}$ を求める。

$$\dfrac{dy}{dx} = y \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+1} - \dfrac{4}{x-1}\right)$$ $$= \dfrac{x^2(x+1)^3}{(x-1)^4} \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+1} - \dfrac{4}{x-1}\right)$$

例3：$y = (\sin x)^x$ の微分

$\sin x \gt 0$ かつ $x \gt 0$ の範囲（例えば $0 \lt x \lt \pi$）で考える。

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = x \ln(\sin x)$$

Step 2：両辺を $x$ で微分する（積の公式を使用）。

$$\dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}$$ $$= \ln(\sin x) + x \cot x$$

Step 3：$\dfrac{dy}{dx}$ を求める。

$$\dfrac{dy}{dx} = (\sin x)^x \left(\ln(\sin x) + x \cot x\right)$$

11.5 $x^{\alpha}$（一般べき）の証明

第5章で $x^\alpha$ の微分公式を紹介したが、$\alpha$ が整数でないときの証明はしていなかった。対数微分法を使うと、任意の実数 $\alpha$ について証明できる。

定理

任意の実数 $\alpha$ に対して（$x > 0$）：

$$\dfrac{d}{dx}x^\alpha = \alpha x^{\alpha - 1}$$

証明（対数微分法）

$y = x^\alpha$ とおく。

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = \alpha \ln x$$

Step 2：両辺を $x$ で微分する。

$$\dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} = \alpha \cdot \dfrac{1}{x}$$

Step 3：$\dfrac{dy}{dx}$ を求める。

$$\dfrac{dy}{dx} = y \cdot \dfrac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \dfrac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}$$

11.6 対数関数の微分公式まとめ

対数関数の微分公式

関数	導関数
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$（$x \gt 0$）
$\ln\|x\|$	$\dfrac{1}{x}$（$x \neq 0$）
$\ln(g(x))$	$\dfrac{g'(x)}{g(x)}$（$g(x) \gt 0$）
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\log_a(g(x))$	$\dfrac{g'(x)}{g(x) \ln a}$（$g(x) \gt 0$）

対数微分法が有効な場合

$x^{f(x)}$ のような形（底と指数の両方が変数）
多数の因数の積・商
複雑なべき乗の組み合わせ

よくある質問

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ はなぜ成立するのか

$y = \ln x$ を $e^y = x$ と書き直し、両辺を $x$ で微分すると $e^y \cdot y' = 1$ となる。$y' = \dfrac{1}{e^y} = \dfrac{1}{x}$ が得られる。別の方法として微分の定義から $\lim_{h \to 0}\dfrac{\ln(x+h) - \ln x}{h}$ を変形しても導ける。

$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$ の形を覚えるコツは？

$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ と変換すると、$\ln a$ は定数なので $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ を $\ln a$ で割るだけである。$a = e$ なら $\ln e = 1$ となり $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ に一致する。

対数微分法とはどういう手法か

両辺の自然対数をとってから微分する手法である。例えば $y = x^x$ の微分は $\ln y = x \ln x$ として両辺を $x$ で微分し $\dfrac{y'}{y} = \ln x + 1$ を得て $y' = x^x(\ln x + 1)$ となる。べき乗や積・商の複雑な関数に有効である。

練習問題

練習1：基本

次の関数を、対数の中が正になる範囲で微分せよ。

$\ln(3x)$
$\ln(x^2 - 1)$
$\ln(\cos x)$
$\log_2 x$

練習2：対数微分法

対数微分法を使って次の関数を微分せよ（1 と 3 は $x \gt 0$ で考える）。

$y = x^{\sin x}$
$y = (x^2 + 1)^x$
$y = \dfrac{x(x+1)}{(x+2)(x+3)}$

練習3

$f(x) = x \ln x$（$x \gt 0$）について：

$f'(x)$ を求めよ。
$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めよ。
$f(x)$ の極値を求めよ。

解答を見る

練習1の解答

$\dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}$
$\dfrac{2x}{x^2-1}$
$\dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$
$\dfrac{1}{x \ln 2}$

練習2の解答

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$
$\dfrac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \dfrac{1}{x}$
$y' = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$
$\ln y = x \ln(x^2+1)$
$\dfrac{y'}{y} = \ln(x^2+1) + x \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}$
$y' = (x^2+1)^x\left(\ln(x^2+1) + \dfrac{2x^2}{x^2+1}\right)$
$\ln y = \ln x + \ln(x+1) - \ln(x+2) - \ln(x+3)$
$\dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x+3}$
$y' = \dfrac{x(x+1)}{(x+2)(x+3)}\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x+3}\right)$

練習3の解答

$f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$
$0 \lt x \lt \dfrac{1}{e}$ で $f'(x) \lt 0$（減少）、$x \gt \dfrac{1}{e}$ で $f'(x) \gt 0$（増加）
よって $x = \dfrac{1}{e}$ で極小
極小値：$f\left(\dfrac{1}{e}\right) = \dfrac{1}{e} \ln\dfrac{1}{e} = \dfrac{1}{e} \cdot (-1) = -\dfrac{1}{e}$