こ

高域通過フィルタ (こういきつうかふぃるた)

カットオフ周波数付近から上の周波数成分だけを通過させ、低域を遮断する働きを持つフィルタ。

高速フーリエ変換 (こうそくふーりえへんかん)

\(\sin, \cos\) の周期性を利用して 離散フーリエ変換 (DFT) \begin{eqnarray} X(k) &=& \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-i\cdot 2 \pi \frac{k n}{N}} \label{FFT1}\\ &=& \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \left\{\cos\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) - i\cdot\sin\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) \right\} \end{eqnarray} 及び逆変換 (逆 DFT) \begin{eqnarray} x(n) &=& \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{+i\cdot 2 \pi \frac{k n}{N}} \\ &=& \sum_{k=0}^{N-1} X(k) \left\{\cos\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) + i\cdot\sin\left(2 \pi \frac{k n}{N}\right) \right\} \label{FFT4} \end{eqnarray} を高速に計算するアルゴリズム。FFT (Fast Fourier Transform) と略す。 その高速性により、スペクトル分析、畳込み(フィルタ)、自己相関、相互相関など、ディジタル信号処理に幅広く使われている。

1965年にアメリカの数学者クーリー (Cooley) とテューキー (Tukey) によって発表され、瞬く間に世界中に広まったが、その計算原理は 1805 年頃、大数学者ガウス(Gauss)によって、すでに発見されていたという。

高調波 (こうちょうは)

厳密には基本周波数の整数倍の周波数成分のことであるが、(基本周波数よりも高い) 優勢な周波数成分も高調波と誤用される場合がある。

高調波の「調」の字は「調和振動」を表し、正弦波を意味する。

勾配 (こうばい)

勾配は、1 変数関数における導関数を多変数関数に拡張したもので、関数のグラフに接する超平面の傾きが、最も急な方向を向いたベクトルである。

微分可能なスカラー値関数 $f(\boldsymbol{x})\in \mathbb{R},\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^N$ の勾配は、$\boldsymbol{e}_n$ を座標系の $n$ 番目の基本ベクトルとして \begin{eqnarray} \nabla f(\boldsymbol{x}) &\triangleq& \sum_{n=0}^{N-1} \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} \boldsymbol{e}_n \end{eqnarray} で定義され、これを ${\rm grad}\ f(\boldsymbol{x})$ とも書く (${\rm grad}$ はグラディエントと読む)。ベクトルを要素で表せば、次式のようにも書ける。 \begin{eqnarray} \nabla f(\boldsymbol{x}) &=& \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_0} \\ \frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_{N-1}} \\ \end{array} \right) f(\boldsymbol{x}) &=& \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_0} \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_{N-1}} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}

コーシー・シュワルツの不等式 (こーしーしゅわるつのふとうしき)

同じ次元のベクトル $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ に対して以下が成り立ち、これをコーシー・シュワルツの不等式という。 \begin{eqnarray} \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2 &\geq& (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2 \end{eqnarray}

【証明】$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ が実ベクトルの場合を証明する。実数 $x$ により \begin{eqnarray} \boldsymbol{c} &=& \boldsymbol{a} x + \boldsymbol{b} \end{eqnarray} を考えると \begin{eqnarray} \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} &=& (\boldsymbol{a} x + \boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a} x + \boldsymbol{b}) \\ &=& (\boldsymbol{a} x + \boldsymbol{b})^\top(\boldsymbol{a} x + \boldsymbol{b}) \\ &=& \boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{a} x^2 + \boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{b} x + \boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{a} x + \boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{b} \\ &=& \boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{a} x^2 + 2 \boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{b} x + \boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{b} \end{eqnarray} ここで \begin{eqnarray} A = \boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{a},\quad B = 2 \boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{b},\quad C = \boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{b} \label{ABC} \end{eqnarray} と置くと \begin{eqnarray} A x^2 + B x + C &=& \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} &=& \|\boldsymbol{c}\|^2 &\geq& 0 \label{ge0} \end{eqnarray} 方程式 $A x^2 + B x + C = 0$ が 2 実根を持つと式(\ref{ge0})が成り立たなくなる場合を生じるため、$A x^2 + B x + C = 0$ は単根または共役複素根でなければならないから、その判別式は \begin{eqnarray} B^2-4AC &\leq& 0 \end{eqnarray} でなければならず \begin{eqnarray} B^2 &\leq& 4AC \end{eqnarray} 式(\ref{ABC})を代入して右辺と左辺を入れ替えると \begin{eqnarray} 4 (\boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{a}) (\boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{b}) &\geq& (2 \boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{b})^2 &=& 4 (\boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{b})^2 \end{eqnarray} 両辺を 4 で割って \begin{eqnarray} (\boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{a}) (\boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{b}) &\geq& (\boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{b})^2 \end{eqnarray} これは \begin{eqnarray} \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2 &\geq& (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2 \end{eqnarray} を意味する。

コーシーの積分公式 (こーしーのせきぶんこうしき)

$f(z)$ は領域 $D$ で正則とし、$D$ 内に含まれる単一閉曲線 $C$ 内の点 $p$ で、$f(p)$ は $C$ を反時計回りにまわる以下の周回積分で表せる。 \begin{eqnarray} f(p) &=& \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-p} dz \end{eqnarray}

【証明】 積分路 $C$ の内側に、$p$ を中心とする半径 r の微小な円周 $\Gamma$ を考え、$C$ と $\Gamma$ を繋ぐ積分路 ($C\to\Gamma$ を $L$、$\Gamma\to C$ を $-L$ とする) を作ると、図 1 の緑の部分は全て正則な領域 $D$ の内部にあるから次式が成り立つ。 \begin{eqnarray} \int_{C+L+\Gamma-L} \frac{f(z)}{z-p} dz &=& 0 \end{eqnarray}

$L$ と $-L$ は逆向きだから、その線積分は打ち消し合って 0 になるので、次のようにも書ける。 \begin{eqnarray} \int_{C+\Gamma} \frac{f(z)}{z-p} dz &=& \int_C \frac{f(z)}{z-p} dz + \int_\Gamma \frac{f(z)}{z-p} dz &=& 0 \end{eqnarray} 移項すれば \begin{eqnarray} \int_C \frac{f(z)}{z-p} dz &=& -\int_\Gamma \frac{f(z)}{z-p} dz &=& \int_{-\Gamma} \frac{f(z)}{z-p} dz \end{eqnarray} つまり $C$ の周回積分は微小な円周 $\Gamma$ を反時計回りに周回積分したものに等しい。

円周 $\Gamma$ は $0\leq\theta\leq 2\pi$ に対して \begin{eqnarray} z-p &=& r e^{i\theta} \end{eqnarray} と表わせ \begin{eqnarray} d z &=& i r e^{i\theta} d\theta \end{eqnarray} であるから \begin{eqnarray} \require{cancel} \int_{-\Gamma} \frac{f(z)}{z-p} dz &=& \int_0^{2\pi} \frac{f(p+r e^{i\theta})}{\cancel{r e^{i\theta}}} i \cancel{r e^{i\theta}} d\theta \\ &=& i \int_0^{2\pi} f(p+r e^{i\theta}) d\theta \end{eqnarray} と書けるので、$r\to 0$ とすれば \begin{eqnarray} \int_C \frac{f(z)}{z-p} dz &=& \lim_{r\to 0}\int_{-\Gamma} \frac{f(z)}{z-p} dz \\ &=& i \lim_{r\to 0} \int_0^{2\pi} f(p+r e^{i\theta}) d\theta \\ &=& i f(p) \int_0^{2\pi} d\theta \\ &=& 2\pi i f(p) \end{eqnarray} 両辺を $2\pi i$ で割れば、次式を得る。 \begin{eqnarray} f(p) &=& \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-p} dz \end{eqnarray}

固有振動数 (こゆうしんどうすう)

物体を強制的に加振し続けることなく、自由に振動させた場合に振動し易い振動数のこと。

物体をハンマーなどで叩いた後に聞こえる優勢な振動成分の周波数と考えてよい。

固有値 (こゆうち)

固有対を見よ。

固有対 (こゆうつい)

正方行列 $\boldsymbol{A}$ に対して \begin{eqnarray} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} &=& \lambda \boldsymbol{x} \end{eqnarray} を満たす $\lambda$ を固有値 (eigenvalue)、$\boldsymbol{x} (\neq \boldsymbol{0})$ を固有ベクトル (eigenvector) といい、両者をペアにしたものを固有対 (eigenpair) という。

$N$ 次正方行列は、重複も数えて $N$ 組の固有対を持つ。

固有ベクトル (こゆうべくとる)

固有対を見よ。

固有モード (こゆうもーど)

物体の固有振動数に対応する振動の形のこと。

混合正規分布モデル (こんごうせいきぶんぷもでる)

データの分布を複数の正規分布の重み付け和として表現するモデル。GMM (Gaussian Mixture Model)。

正規分布 $N(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$ の重み付け和として次のように定義される。 \begin{eqnarray} p(\boldsymbol{x}) &=& \sum_{k=1}^K \pi_k N(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu}_k,\boldsymbol{\Sigma}_k) \label{GMM} \end{eqnarray} ただし $\pi_k$ は重み係数 (結合係数)、$\boldsymbol{\mu}_k$ は平均、$\boldsymbol{\Sigma}_k$ は分散共分散行列。